Если поверхность \(S\) ориентирована внешней нормалью, то \[ {\iint\limits_S {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot d\mathbf{S}} } = {\iint\limits_S {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot \mathbf{n}dS} } = {\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\mathbf{F}\left( {x\left( {u,v} \right),y\left( {u,v} \right),z\left( {u,v} \right)} \right) \cdot \left[ {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial v}}} \right]dudv} ;} \]
Если поверхность \(S\) ориентирована внутренней нормалью, то \[ {\iint\limits_S {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot d\mathbf{S}} } = {\iint\limits_S {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot \mathbf{n}dS} } = {\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\mathbf{F}\left( {x\left( {u,v} \right),y\left( {u,v} \right),z\left( {u,v} \right)} \right) \cdot \left[ {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial v}} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}}} \right]dudv}.} \]
Если поверхность \(S\) ориентирована внешней нормалью (\(k\)-компонент вектора нормали является положительным), то \[ {\iint\limits_S {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot d\mathbf{S}} } = {\iint\limits_S {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot \mathbf{n}dS} } = {\iint\limits_{D\left( {x,y} \right)} {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot \left( { - \frac{{\partial z}}{{\partial x}}\mathbf{i} - \frac{{\partial z}}{{\partial y}}\mathbf{j} + \mathbf{k}} \right)dxdy} ;} \]
Если поверхность \(S\) ориентирована внутренней нормалью (\(k\)-компонент вектора нормали является отрицательным), то \[ {\iint\limits_S {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot d\mathbf{S}} } = {\iint\limits_S {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot \mathbf{n}dS} } = {\iint\limits_{D\left( {x,y} \right)} {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot \left( { \frac{{\partial z}}{{\partial x}}\mathbf{i} + \frac{{\partial z}}{{\partial y}}\mathbf{j} - \mathbf{k}} \right)dxdy}.} \]
