Общее уравнение поверхности второго порядка \(A{x^2} + B{y^2} + C{z^2} + 2Fyz + 2Gzx + 2Hxy + 2Px + 2Qy + 2Rz + D = 0,\) где \(x\), \(y\), \(z\) − координаты точек поверхности, \(A\), \(B\), \(C\), \(\ldots\) − действительные числа.

Классификация поверхностей второго порядка Данная классификация основана на рассмотрении инвариантов поверхностей второго порядка. Инварианты представляют собой специальные выражения, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при параллельном переносе или повороте системы координат. Всего можно выделить \(17\) различных канонических видов поверхностей.

В качестве инвариантов используются ранги матриц \(e\) и \(E\), определитель матрицы \(E\) и знаки корней характеристического уравнения для матрицы \(e\). Указанные матрицы имеют вид:

\(e = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A&H&G\\ H&B&F\\ G&F&C \end{array}} \right),\) \(E = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A&H&Q&P\\ H&B&F&Q\\ G&F&C&R\\ P&Q&R&D \end{array}} \right),\) \(\Delta = \det \left( E \right),\)

а корни \({k_1}\), \({k_2}\), \({k_3}\) находятся из решения уравнения \(\;\\ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {A - k}&H&G\\ H&{B - k}&F\\ G&F&{C - k} \end{array}} \right| = 0.\)

Эллипсоид (#\(1\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize + \large\frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\normalsize = 1\)

Мнимый эллипсоид (#\(2\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize + \large\frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\normalsize = -1\)

Однополостный гиперболоид (#\(3\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize - \large\frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\normalsize = 1\)

Двуполостный гиперболоид (#\(4\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize - \large\frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\normalsize = -1\)

Коническая поверхность (#\(5\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize - \large\frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\normalsize = 0\)

Мнимая коническая поверхность (#\(6\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize + \large\frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\normalsize = 0\)

Эллиптический параболоид (#\(7\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize - z = 0\)

Гиперболический параболоид (#\(8\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize - \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize - z = 0\)

Эллиптический цилиндр (#\(9\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 1\)

Мнимый эллиптический цилиндр (#\(10\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = -1\)

Гиперболический цилиндр (#\(11\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize - \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 1\)

Пересекающиеся плоскости (#\(12\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize - \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 0\)

Мнимые пересекающиеся плоскости (#\(13\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 0\)

Параболический цилиндр (#\(14\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize - y = 0\)

Параллельные плоскости (#\(15\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize = 1\)

Мнимые параллельные плоскости (#\(16\)) \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize = -1\)

Совпадающие плоскости (#\(17\)) \({x^2} = 0\)

Уравнение сферы с центром в начале координат Сфера является частным случаем эллипсоида, когда все его полуоси одинаковы (и равны радиусу сферы). Уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом \(R\) выражается формулой \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {R^2}.\)

Уравнение сферы с центром в произвольной точке \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2},\) где \(\left( {a,b,c} \right)\) − координаты центра сферы.

Уравнение сферы по заданным концам диаметра \(\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) + \left( {y - {y_1}} \right)\left( {y - {y_2}} \right) + \left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right) = 0,\) где \({P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\), \({P_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\) − конечные точки диаметра.

Уравнение сферы по четырем точкам \(\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + {y^2} + {z^2}}&x&y&z&1\\ {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}&{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}&1\\ {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}&{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}&1\\ {x_3^2 + y_3^2 + z_3^2}&{{x_3}}&{{y_3}}&{{z_3}}&1\\ {x_4^2 + y_4^2 + z_4^2}&{{x_4}}&{{y_4}}&{{z_4}}&1 \end{array}} \right| = 0.\\\) Точки \({P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\), \({P_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\), \({P_3}\left( {{x_3},{y_3},{z_3}} \right)\), \({P_4}\left( {{x_4},{y_4},{z_4}} \right)\) принадлежат данной сфере.

Общее уравнение сферы \(A{x^2} + A{y^2} + A{z^2} + Dx + Ey + Fz + M = 0,\;\;\left( {A \ne 0} \right)\) Центр сферы имеет координаты \(\left( {a,b,c} \right)\), где \(a = - \large\frac{D}{{2A}}\normalsize,\;\;b = - \large\frac{E}{{2A}}\normalsize,\;\;c = - \large\frac{F}{{2A}}\normalsize.\) Радиус сферы равен \(R = \large\frac{{\sqrt {{D^2} + {E^2} + {F^2} - 4{A^2}M} }}{{2A}}\normalsize\).