Первые интегралы

Рассмотрим систему \(n\)-го порядка \[\frac{{d{x_i}}}{{dt}} = {f_i}\left( {t,{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right),\;\;i = 1,2, \ldots ,n,\] где \({f_i}\left( {t,{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)\) являются непрерывно дифференцируемыми действительными функциями, заданными в некоторой области \(D \in {\Re^{n + 1}}.\) В векторной форме данная система записывается как \[ {\mathbf{X'} = \mathbf{f}\left( {t,\mathbf{X}} \right),\;\;\text{где}}\;\; {\mathbf{X} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}\left( t \right)}\\ {{x_2}\left( t \right)}\\ \vdots \\ {{x_n}\left( t \right)} \end{array}} \right),}\;\; {\mathbf{f} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}}\\ {{f_2}}\\ \vdots \\ {{f_n}} \end{array}} \right).} \] Пусть в области \(D\) определена также непрерывно дифференцируемая векторная функция \(\mathbf{U}\left( {t,\mathbf{X}} \right).\) Производная векторной функции \(\mathbf{U}\left( {t,\mathbf{X}} \right)\) по направлению векторного поля \(\mathbf{f}\left( {t,\mathbf{X}} \right)\) (производная Ли) определяется выражением \[ {{L_{\mathbf{f}}}\mathbf{U} = \left( {\text{grad}\,\mathbf{U},\mathbf{f}} \right) } = {\frac{{\partial \mathbf{U}}}{{\partial t}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\partial \mathbf{U}}}{{\partial {x_i}}}{f_i}} = \frac{{d\mathbf{U}}}{{dt}},} \] где \(\text{grad}\,\mathbf{U}\) − градиент функции \(U,\) а \(\left( {\text{grad}\,\mathbf{U},\mathbf{f}} \right)\) обозначает скалярное произведение векторов \(\text{grad}\,\mathbf{U}\) и \(\mathbf{f}.\) Введенная производная по направлению векторного поля (производная Ли) является обобщением понятия производной по постоянному направлению, которая широко используется при исследовании функций нескольких переменных. Если непостоянная функция \(\mathbf{U}\left( {t,\mathbf{X}} \right)\) удовлетворяет соотношению \[{L_\mathbf{f}}\mathbf{U} \equiv 0\] для всех \(\mathbf{X} \in D,\) то она называется первым интегралом системы. В случае автономных систем (когда правые части уравнений \({f_i}\) не зависят явно от переменной \(t\)), первый интеграл определяется более простым выражением: \[ {{L_\mathbf{f}}\mathbf{U} \equiv 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{d\mathbf{U}}}{{dt}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\partial \mathbf{U}}}{{\partial {x_i}}}{f_i}} \equiv 0,}\;\; {\Rightarrow \mathbf{U}\left( \mathbf{X} \right) \equiv C,} \] где \(C\) − постоянное число. Далее мы ограничимся рассмотрением автономных систем. Как видно, первый интеграл остается постоянным вдоль любого решения \(\mathbf{X}\left( t \right).\) Другими словами, фазовые траектории \(\mathbf{X}\left( t \right)\) системы лежат на одной из поверхностей уровня первого интеграла \(\mathbf{U}\left( \mathbf{X} \right).\) В случае системы второго порядка это будут линии уровня первого интеграла. Предположим, что для автономной системы порядка \(n\) найдено \(k\) первых интегралов: \[{\mathbf{U}_1}\left( \mathbf{X} \right),{\mathbf{U}_2}\left( \mathbf{X} \right), \ldots ,{\mathbf{U}_k}\left( \mathbf{X} \right),\;\;k<n.\] Можно показать, что композиция \[\Phi \left[ {{\mathbf{U}_1}\left( \mathbf{X} \right),{\mathbf{U}_2}\left( \mathbf{X} \right), \ldots ,{\mathbf{U}_k}\left( \mathbf{X} \right)} \right],\] где \(\Phi\) − произвольная непрерывно дифференцируемая функция, также будет являться первым интегралом системы. В общем случае существует бесконечное множество первых интегралов. Из этого множества можно выделить функционально независимые первые интегралы. Первые интегралы \({{\mathbf{U}_1}\left( \mathbf{X} \right),{\mathbf{U}_2}\left( \mathbf{X} \right), \ldots ,{\mathbf{U}_k}\left( \mathbf{X} \right)},\) определенные в области \(D \in {\Re^n},\) называются функционально независимыми, если для всех \(\mathbf{X} \in D\) ранг матрицы Якоби равен количеству функций \(k:\) \[\text{rank} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {U_1}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {U_1}}}{{\partial {x_2}}}}& \vdots &{\frac{{\partial {U_1}}}{{\partial {x_k}}}}\\ {\frac{{\partial {U_2}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {U_2}}}{{\partial {x_2}}}}& \vdots &{\frac{{\partial {U_2}}}{{\partial {x_k}}}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\frac{{\partial {U_k}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {U_k}}}{{\partial {x_2}}}}& \vdots &{\frac{{\partial {U_k}}}{{\partial {x_k}}}} \end{array}} \right) = k.\] Для автономной системы \(2\)-го порядка существует один независимый первый интеграл, который определяет решение системы в неявном виде. Для системы \(n\)-го порядка всего существует \(n - 1\) независимых интегралов. Если известно \(k\) первых интегралов такой системы, то ее порядок можно понизить до \(n - k.\) Нахождение первых интегралов представляет собой один из основных методов решения нелинейных автономных систем. Для того, чтобы найти первые интегралы, уравнения системы с помощью подходящих арифметических операций преобразуются к виду \[{L_\mathbf{f}}\mathbf{U} = 0,\] где левая часть представляет собой производную Ли от некоторой функции \(\mathbf{U}\left( \mathbf{X} \right),\) а правая часть равна нулю. Первый интеграл \(\mathbf{U}\left( \mathbf{X} \right)\) находится в результате интегрирования данного выражения. Каждая интегрируемая комбинация позволяет определить один первый интеграл. Для нахождения первых интегралов иногда удобно записать исходную систему в т.н. симметричной форме: \[ {\frac{{d{x_1}}}{{{f_1}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)}} = \frac{{d{x_2}}}{{{f_2}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)}} = \cdots } = {\frac{{d{x_n}}}{{{f_n}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)}} = \frac{{dt}}{1}.} \] Здесь предполагается, что функции \({f_1},{f_2}, \ldots ,{f_n}\) в знаменателях не равны нулю в области определения \(D \in {\Re^n}.\) В такой записи некоторые пары отношений могут допускать интегрирование, например, методом разделения переменных. Другой способ решения системы в симметричной форме заключается в использовании свойства равных дробей \[ {\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \cdots = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} } = {\frac{{{\lambda _1}{a_1} + {\lambda _2}{a_2} + \cdots + {\lambda _n}{a_n}}}{{{\lambda _1}{b_1} + {\lambda _2}{b_2} + \cdots + {\lambda _n}{b_n}}},} \] где предполагается, что \({{\lambda _1}{b_1} + {\lambda _2}{b_2} + \cdots + {\lambda _n}{b_n}} \ne 0,\) а числа \({\lambda _1},{\lambda _2}, \ldots ,{\lambda _n}\) выбираются таким образом, чтобы числитель представлял собой дифференциал знаменателя или был равен нулю.

Пример 1

Решить систему уравнений \[\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{1}{y},\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = - \frac{1}{x}.\] Запишем систему в виде \[\left\{ \begin{array}{l} ydx = dt\\ xdy = - dt \end{array} \right..\] Сложив оба уравнения, получаем \[ydx + xdy = 0,\;\; \Rightarrow d\left( {xy} \right) = 0.\] Отсюда находим первый интеграл системы: \[xy = {C_1},\] где \({C_1}\) − произвольное число, не равное нулю. Выразим решения \(x\left( t \right),y\left( t \right)\) в явном виде. В первое уравнение подставим выражение \(y = \large\frac{{{C_1}}}{x}\normalsize\) и проинтегрируем: \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{1}{y} = \frac{x}{{{C_1}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{{dt}}{{{C_1}}},}\;\; {\Rightarrow \ln \left| x \right| = \frac{t}{{{C_1}}} + \ln {C_2} = \ln {e^{\large\frac{t}{{{C_1}}}\normalsize}} + \ln {C_2} = \ln \left( {{C_2}{e^{\large\frac{t}{{{C_1}}}\normalsize}}} \right),}\;\; {\Rightarrow x\left( t \right) = {C_2}{e^{\large\frac{t}{{{C_1}}}\normalsize}},} \] где \({C_2} \ne 0\) − произвольная постоянная. Теперь найдем выражение для \(y\left( t \right):\) \[ {xy = {C_1},}\;\; {\Rightarrow y\left( t \right) = \frac{{{C_1}}}{{x\left( t \right)}} } = {\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}{e^{ - \large\frac{t}{{{C_1}}}\normalsize}}.} \] Окончательный ответ: \[ {x\left( t \right) = {C_2}{e^{\large\frac{t}{{{C_1}}}\normalsize}},}\;\; {y\left( t \right) = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}{e^{ - \large\frac{t}{{{C_1}}}\normalsize}},}\;\; {{C_1} \ne 0,\;{C_2} \ne 0.} \]

Пример 2

Решить систему уравнений \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = {x^2}y,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = x{y^2},}\;\; {x>0,\;y>0.} \] Запишем систему в симметричной форме: \[\frac{{dx}}{{{x^2}y}} = \frac{{dy}}{{x{y^2}}}.\] Разделив обе части на \(\large\frac{1}{{xy}}\normalsize,\) получаем уравнение, допускающее интегрирование: \[ {\frac{{dx}}{x} = \frac{{dy}}{y},}\;\; {\Rightarrow \ln \left| x \right| = \ln \left| y \right| + \ln {C_1},}\;\; {\Rightarrow x = {C_1}y.} \] Данное соотношение является первым интегралом системы. Выразим переменную \(y\) через \(x\) и подставим в первое уравнение системы: \[ {y = \frac{x}{{{C_1}}},\;\; \Rightarrow \frac{{dx}}{{dt}} = {x^2}y = \frac{{{x^3}}}{{{C_1}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{dx}}{{{x^3}}} = \frac{{dt}}{{{C_1}}},}\;\; {\Rightarrow - \frac{1}{{2{x^2}}} = \frac{t}{{{C_1}}} + {C_2},}\;\; {\Rightarrow 2{x^2} = \frac{{{C_1}}}{{ - t - {C_1}{C_2}}},}\;\; {\Rightarrow {x^2} = \frac{{{C_1}}}{{ - 2t - 2{C_1}{C_2}}}.} \] Заменим \({ - 2{C_1}{C_2}}\) на \({C_2}:\) \[ {{x^2} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2} - 2t}},}\;\; {\Rightarrow x = \pm \sqrt {\frac{{{C_1}}}{{{C_2} - 2t}}} .} \] Решением является положительное значение корня, поскольку по условию задачи \(x>0:\) \[x\left( t \right) = \sqrt {\frac{{{C_1}}}{{{C_2} - 2t}}} .\] Найдем теперь функцию \(y\left( t \right):\) \[ {y\left( t \right) = \frac{{x\left( t \right)}}{{{C_1}}} } = {\frac{1}{{{C_1}}}\sqrt {\frac{{{C_1}}}{{{C_2} - 2t}}} } = {\frac{1}{{\sqrt {{C_1}\left( {{C_2} - 2t} \right)} }}.} \] Итак, общее решение системы имеет вид: \[ {x\left( t \right) = \sqrt {\frac{{{C_1}}}{{{C_2} - 2t}}} ,}\;\; {y\left( t \right) = \frac{1}{{\sqrt {{C_1}\left( {{C_2} - 2t} \right)} }}.} \]

Пример 3

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{y}{z},}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{x}{z},}\;\; {\frac{{dz}}{{dt}} = \frac{x}{y},}\;\; {x>0,\;y>0,\;z>0.} \] Преобразуем уравнения системы, чтобы получить интегрируемые комбинации. Разделим второе уравнение на первое: \[ {\frac{{dy}}{{dt}}:\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{x}{z}:\frac{y}{z},}\;\; {\Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{x}{y},}\;\; {\Rightarrow ydy = xdx,}\;\; {\Rightarrow {y^2} - {x^2} = {C_1}.} \] В результате получен первый интеграл системы. Аналогично, разделив третье уравнение на второе, найдем еще один первый интеграл: \[ {\frac{{dz}}{{dt}}:\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{x}{y}:\frac{x}{z},}\;\; {\Rightarrow \frac{{dz}}{{dy}} = \frac{z}{y},}\;\; {\Rightarrow \frac{{dz}}{z} = \frac{{dy}}{y},}\;\; {\Rightarrow \ln \left| z \right| = \ln \left| y \right| + \ln {C_2},}\;\; {\Rightarrow z = {C_2}y.} \] Очевидно, оба первых интеграла независимы. Найдем теперь решения \(x\left( t \right),\) \(y\left( t \right),\) \(z\left( t \right)\) в явном виде. Подставим выражения для \(x\) и \(z,\) соответственно, из первого и второго интеграла, в первое уравнение системы: \[\require{cancel} {{x^2} = {y^2} - {C_1},}\;\; {\Rightarrow x = \sqrt {{y^2} - {C_1}} ,}\;\; {\Rightarrow \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{y}{{\sqrt {{y^2} - {C_1}} }}\frac{{dy}}{{dt}},}\;\; {\Rightarrow \frac{y}{{\sqrt {{y^2} - {C_1}} }}\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{\cancel{y}}{{{C_2}\cancel{y}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{d\left( {{y^2} - {C_1}} \right)}}{{2\sqrt {{y^2} - {C_1}} }} = \frac{{dt}}{{{C_2}}},}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{d\left( {{y^2} - {C_1}} \right)}}{{2\sqrt {{y^2} - {C_1}} }}} = \int {\frac{{dt}}{{{C_2}}}} ,}\;\; {\Rightarrow \sqrt {{y^2} - {C_1}} = \frac{t}{{{C_2}}} + {C_3},}\;\; {\Rightarrow x\left( t \right) = \frac{t}{{{C_2}}} + {C_3}.} \] Далее легко определить решения \(y\left( t \right)\) и \(z\left( t \right):\) \[ {y\left( t \right) = \sqrt {{{\left( {\frac{t}{{{C_2}}} + {C_3}} \right)}^2} + {C_1}} } = {\frac{1}{{{C_2}}}\sqrt {{{\left( {t + {C_2}{C_3}} \right)}^2} + {C_1}C_2^2} ,}\;\; {z\left( t \right) = {C_2}y\left( t \right) } = {\sqrt {{{\left( {t + {C_2}{C_3}} \right)}^2} + {C_1}C_2^2} .} \]

Пример 4

Найти общее решение системы с помощью первых интегралов \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = y + z,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = x - z,}\;\; {\frac{{dz}}{{dt}} = x + y.} \] Запишем систему уравнений в симметричной форме: \[\frac{{dx}}{{y + z}} = \frac{{dy}}{{x - z}} = \frac{{dz}}{{x + y}}.\] Используя свойство равных дробей, получаем \[ {\frac{{dx + dy}}{{y + \cancel{z} + x - \cancel{z}}} = \frac{{dz}}{{x + y}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{d\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} = \frac{{dz}}{{x + y}},}\;\; {\Rightarrow d\left( {x + y} \right) = dz,}\;\; {\Rightarrow x + y = z + {C_1}\;\;\text{или}\;\; x + y - z = {C_1}.} \] Еще одну интегрируемую комбинацию можно получить в результате следующих преобразований: \[ {\frac{{xdx - ydy}}{{x\left( {y + z} \right) - y\left( {x - z} \right)}} = \frac{{dz}}{{x + y}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{\frac{1}{2}d\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{\cancel{xy} + xz - \cancel{yx} + yz}} = \frac{{dz}}{{x + y}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{\frac{1}{2}d\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{z\left( {x + y} \right)}} = \frac{{dz}}{{x + y}},}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{2}d\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = zdz,}\;\; {\Rightarrow d\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = d{z^2},}\;\; {\Rightarrow {x^2} - {y^2} = {z^2} + {C_2}}\;\; {\text{или}\;\;{x^2} - {y^2} - {z^2} = {C_2}.} \] Итак, найдены \(2\) первых интеграла системы: \[ {{U_1} = x + y - z = {C_1},}\;\; {{U_2} = {x^2} - {y^2} - {z^2} = {C_2}.} \] Убедимся, что оба интеграла являются независимыми. Вычислим ранг матрицы-якобиана: \[ {\text{rank}\left( J \right) } = {\text{rank}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {U_1}}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial {U_1}}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial {U_1}}}{{\partial z}}}\\ {\frac{{\partial {U_2}}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial {U_2}}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial {U_2}}}{{\partial z}}} \end{array}} \right) } = {\text{rank}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1}\\ {2x}&{ - 2y}&{ - 2z} \end{array}} \right) = 2.} \] т.е. ранг равен количеству первых интегралов. Следовательно, найденные интегралы определяют в неявном виде общее решение системы.