Отопление дома
Любой хозяин подтвердит, что отопление дома − это дорогое удовольствие. Помимо расходов, это ведь еще и углеродное загрязнение окружающей среды!
Оказывается, что используя систему дифференциальных уравнений, вполне возможно описать изменение температуры в доме при различных режимах отопления.
Такая модель может принести реальную практическую пользу.
Рассмотрим типичный двухэтажный дом (рисунок\(1\)). Температуру внутри дома будем описывать двумя функциями:
Базовые дифференциальные уравнения основаны на
законе охлаждения Ньютона,
который записывается в виде
\[\frac{{dT}}{{dt}} = \frac{{\alpha A}}{C}\left( {{T_e} - T} \right) = k\left( {{T_e} - T} \right),\]
где \({{T_e}}\) − температура окружающей среды или соседнего помещения, \(T\)−температура данного помещения,
\(\alpha\)−коэффициент теплопередачи, \(C\)−теплоемкость тела или поверхности, через которую проходит тепло,
\(A\)−площадь поверхности. Коэффициенты \(\alpha,\) \(A\) и \(C\) удобно заменить одним параметром − коэффициентом теплопроводности\(k,\)
который описывает скорость выравнивания температур между двумя точками. Так, при \(k = 1\) начальная разность температур
\(\Delta T\) уменьшается в \(e \approx 2.7\) раз за единицу времени. При увеличении \(k\) темп релаксации увеличивается.
Введем следующие коэффициенты \({k_i},\) характеризующие двухэтажный дом:
\(x\left( t \right)\) − температура нижнего этажа;
\(y\left( t \right)\) − температура верхнего этажа.
Рис.1
Рис.2
Рис.3
Рис.4
\({k_1}\) − коэффициент теплопроводности пола на \(1\)-ом этаже;
\({k_2}\) − коэффициент теплопроводности потолка на \(1\)-ом этаже;
\({k_3}\) − коэффициент теплопроводности стен на \(1\)-ом этаже;
\({k_4}\) − коэффициент теплопроводности стен на \(2\)-ом этаже и крыши.