Дифференциальный оператор можно рассматривать как обобщение операции дифференцирования. Простейший дифференциальный оператор \(D\) означает просто взятие производной первого порядка: \(Dy\left( x \right) = \large\frac{{dy\left( x \right)}}{{dx}}\normalsize = y'\left( x \right).\)

Операция \(D\), примененная \(n\) раз, приводит к производной функции \(n\)-го порядка: \({D^n}y\left( x \right) = \large\frac{{{d^n}y\left( x \right)}}{{d{x^n}}}\normalsize = {y^{\left( n \right)}}\left( x \right).\)

Линейный дифференциальный оператор в общем случае записывается в виде \(L\left( D \right) = {D^n} + {a_1}\left( x \right){D^{n - 1}} + {a_2}\left( x \right){D^{n - 2}} + \ldots + {a_{n - 1}}\left( x \right)D + {a_n}\left( x \right),\)

где коэффициенты \({a_i}\left( x \right)\) являются функциями переменной \(x\).

Оператор тета В случае функции одной переменной \(y = f\left( x \right)\) оператор тета имеет вид: \(\theta = x\large\frac{d}{{dx}}\normalsize.\)

Для функции нескольких переменных \(y = f\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)\) оператор тета записывается в форме \(\theta = {x_1}\large\frac{\partial }{{\partial {x_1}}}\normalsize + {x_2}\large\frac{\partial }{{\partial {x_2}}}\normalsize + \ldots + {x_n}\large\frac{\partial }{{\partial {x_n}}}\normalsize = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}\large\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\normalsize} .\)

Оператор набла Дифференциальный оператор набла часто встречается в векторном анализе. В пространстве трех переменных он определяется как \(\nabla = \large\frac{\partial }{{\partial x}}\normalsize \mathbf{i} + \large\frac{\partial }{{\partial y}}\normalsize \mathbf{j} + \large\frac{\partial }{{\partial z}}\normalsize \mathbf{k},\)

где \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{k}\) − единичные векторы, соответственно, вдоль координатных осей \(Ox\), \(Oy\) и \(Oz\). В результате действия оператора набла на скалярную функцию трех переменных, мы получаем градиент скалярного поля: \(\nabla f = \large\frac{\partial f}{{\partial x}}\normalsize \mathbf{i} + \large\frac{\partial f}{{\partial y}}\normalsize \mathbf{j} + \large\frac{\partial f}{{\partial z}}\normalsize \mathbf{k}.\)

Производная по направлению скалярной функции вычисляется через компоненты вектора градиента: \(\large\frac{\partial f}{{\partial \ell}}\normalsize = \large\frac{\partial f}{{\partial x}}\normalsize \cos\alpha + \large\frac{\partial f}{{\partial y}}\normalsize \cos\beta + \large\frac{\partial f}{{\partial z}}\normalsize \cos\gamma,\)

где заданное направление определяется единичным вектором \(\mathbf{\ell}\left( {\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma } \right)\): \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1.\)

Скалярное произведение оператора набла \(\nabla\) и векторной функции \(\mathbf{V}\) представляет собой дивергенцию векторного поля \(\mathbf{V}\): \(\text {div }\mathbf{V} = \nabla \cdot \mathbf{V} = \large\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\normalsize + \large\frac{{\partial Q}}{{\partial y}}\normalsize + \large\frac{{\partial R}}{{\partial z}}\normalsize,\;\;\mathbf{V} = \mathbf{V}\left( {P,Q,R} \right).\)

Векторное произведение оператора набла \(\nabla\) и векторной функции \(\mathbf{V}\) известно как ротор векторного поля \(\mathbf{V}\): \(\text {rot }\mathbf{V} = \nabla \times V = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ {\large\frac{\partial }{{\partial x}}}\normalsize & {\large\frac{\partial }{{\partial y}}}\normalsize & {\large\frac{\partial }{{\partial z}}}\normalsize \\ P & Q & R \end{array}} \right| = \left( {\large\frac{{\partial R}}{{\partial y}}\normalsize - \large\frac{{\partial Q}}{{\partial z}}\normalsize} \right)\mathbf{i} + \left( {\large\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\normalsize - \large\frac{{\partial R}}{{\partial x}}\normalsize} \right)\mathbf{j} + \left( {\large\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\normalsize - \large\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\normalsize} \right)\mathbf{k},\)

где \(\mathbf{V} = \mathbf{V}\left( {P,Q,R} \right)\).

Оператор Лапласа Скалярное произведение операторов набла образует новый дифференциальный оператор, известный как оператор Лапласа или лапласиан. Он обозначается также символом \(\Delta\): \(\Delta = {\nabla ^2} = \large\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}\normalsize + \large\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}}\normalsize + \large\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {z^2}}}\normalsize.\)

\(\text {div}\left( \text {rot }\mathbf{V} \right) = \nabla \cdot \left( {\nabla \times \mathbf{V}} \right) \equiv 0\)

\(\text {rot}\left( \text {grad } f \right) = \nabla \times \left( {\nabla f} \right) \equiv 0\)

\(\text {div}\left( \text {grad } f \right) = \nabla \cdot \left( {\nabla f} \right) \equiv \nabla^2 f\)

\(\text {rot}\left( \text {rot } \mathbf{V} \right) = \text {grad}\left( \text {div } \mathbf{V} \right) - \nabla^2\mathbf{V} = \nabla \left( {\nabla \cdot \mathbf{V}} \right) - \nabla^2\mathbf{V}\)

Оператор Д'Аламбера Данный оператор обозначается в виде квадрата \(\Box\) и используется в теории относительности и других областях физики. В четырехмерном пространстве-времени он записывается как \(\Box = \large\frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}\normalsize - \Delta ,\)

где переменная \(t\) означает время, \(c\) − скорость света, \(\Delta\) − оператор Лапласа.