Ортогональные полиномы и обобщенный ряд Фурье
Ортогональные полиномы
Два полинома, заданные на интервале \(\left[ {a,b} \right],\) являются ортогональными, если выполнено условие
\[\int\limits_a^b {p\left( x \right)q\left( x \right)w\left( x \right)dx} = 0,\]
где \({w\left( x \right)}\) − неотрицательная весовая функция.
Множество полиномов \({p_n}\left( x \right),\;n = 0,1,2, \ldots ,\) где \(n\) − степень полинома \({p_n}\left( x \right),\)
образуют систему ортогональных полиномов, если справедливо равенство
\[\int\limits_a^b {{p_m}\left( x \right){p_n}\left( x \right)w\left( x \right)dx} = {c_n}{\delta _{mn}},\]
где \({c_n}\) − заданные константы, а \({\delta _{mn}}\) − символ Кронекера.
Обобщенный ряд Фурье
Обобщенным рядом Фурье для некоторой функции называется ее разложение в ряд на основе системы
ортогональных полиномов. Любая кусочно непрерывная функция может быть представлена в виде обобщенного ряда Фурье:
\[
\sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{p_n}\left( x \right)} =
\begin{cases}
f\left( x \right), & \text{если}\,f\left( x \right)\,\text{непрерывна} \\
\frac{{f\left( {x - 0} \right) + f\left( {x + 0} \right)}}{2}, & \text{в точке разрыва 2 рода}
\end{cases}.
\]
Ниже мы рассмотрим \(4\) вида ортогональных полиномов: полиномы Эрмита, Лагерра, Лежандра и Чебышева.
Полиномы Эрмита
Полиномы Эрмита
\({H_n}\left( x \right) = {\left( { - 1} \right)^n}{e^{{x^2}}}\large\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\normalsize {e^{ - {x^2}}}\)
ортогональны с весовой функцией \({e^{ - {x^2}}}\) на интервале \(\left( { - \infty ,\infty } \right):\)
\[
\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {x^2}}}{H_m}\left( x \right){H_n}\left( x \right)dx} =
\begin{cases}
0, & m \ne n \\
{2^n}n!\sqrt \pi, & m = n
\end{cases}.
\]
Иногда используется альтернативное определение, в котором весовая функция равна \({e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}.\) Это соглашение
распространено в теории вероятностей, в частности, из-за того, что плотность нормального распределения описывается функцией
\(\large\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\normalsize {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}.\)
Полиномы Лагерра
Полиномы Лагерра
\({L_n}\left( x \right) = {\large\frac{{{e^x}}}{{n!}}\normalsize} {\large\frac{{{d^n}\left( {{x^n}{e^{ - x}}} \right)}}{{d{x^n}}}\normalsize},\;n = 0,1,2,3, \ldots \)
ортогональны с весовой функцией \({{e^{ - x}}}\) на интервале \(\left( {0,\infty } \right):\)
\[
\int\limits_0^\infty {{e^{ - x}}{L_m}\left( x \right){L_n}\left( x \right)dx} =
\begin{cases}
0, & m \ne n \\
1, & m = n
\end{cases}.
\]
Полиномы Лежандра
Полиномы Лежандра
\({P_n}\left( x \right) = {\large\frac{1}{{{2^n}n!}}\normalsize} {\large\frac{{{d^n}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^n}}}{{d{x^n}}}\normalsize},\;n = 0,1,2,3, \ldots \)
ортогональны на отрезке \(\left[ {-1,1} \right]:\)
\[
\int\limits_{ - 1}^1 {{P_m}\left( x \right){P_n}\left( x \right)dx} =
\begin{cases}
0, & m \ne n \\
\frac{2}{{2n + 1}}, & m = n
\end{cases}.
\]
Полиномы Чебышева
Полиномы Чебышева \({T_n}\left( x \right) = \cos \left( {n\arccos x} \right)\)
первого рода ортогональны на отрезке \(\left[ {-1,1} \right]\) с весовой функцией
\(\large\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize :\)
\[
\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{T_m}\left( x \right){T_n}\left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} =
\begin{cases}
0, & m \ne n \\
\pi, & m = n = 0 \\
\frac{\pi }{2}, & m = n \ne 0
\end{cases}.
\]
Пример 1
Показать, что множество функций
\[1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x, \ldots ,\cos mx,\sin mx, \ldots \]
ортогонально на отрезке \(\left[ { - \pi ,\pi } \right].\)
Решение.
Вычислим следующие интегралы:
\[
{{I_1} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\sin mx\sin nxdx} ,}\;\;
{{I_2} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos mx\cos nxdx} ,}\;\;
{{I_3} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\sin mx\cos nxdx} .}
\]
Первый интеграл равен
\[
{{I_1} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\sin mx\sin nxdx} }
= {\frac{1}{2}\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left[ {\cos \left( {mx - nx} \right) - \cos \left( {mx + nx} \right)} \right]dx} }
= {\frac{1}{2}\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left[ {\cos \left( {m - n} \right)x - \cos \left( {m + n} \right)x} \right]dx} }
= {\frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{\sin \left( {m - n} \right)x}}{{m - n}} - \frac{{\sin \left( {m + n} \right)x}}{{m + n}}} \right)} \right|_{ - \pi }^\pi } \right].}
\]
Если \(m \ne n,\) то
\[
{{I_1} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{\sin \left( {m - n} \right)\pi - \sin \left( {\left( {m - n} \right)\left( { - \pi } \right)} \right)}}{{m - n}}} \right. }
- {\left. {\frac{{\sin \left( {m + n} \right)\pi - \sin \left( {\left( {m + n} \right)\left( { - \pi } \right)} \right)}}{{m + n}}} \right] }
= {\frac{{\sin \left( {m - n} \right)\pi }}{{m - n}} - \frac{{\sin \left( {m + n} \right)\pi }}{{m + n}} = 0.}
\]
В случае \(m = n\) получаем
\[
{{I_1} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\sin }^2}xdx} }
= {\frac{1}{2}\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left( {1 - \cos 2nx} \right)dx} }
= {\frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {x - \frac{{\sin 2nx}}{{2n}}} \right)} \right|_{ - \pi }^\pi } \right] }
= {\frac{1}{2}\left[ {\pi - \frac{{\sin 2n\pi }}{{2n}} - \left( { - \pi } \right) - \frac{{\sin \left( { - 2n\pi } \right)}}{{2n}}} \right] }
= {\pi .}
\]
Таким образом,
\[
{I_1} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\sin mx\sin nxdx} =
\begin{cases}
0, & m \ne n \\
\pi, & m = n
\end{cases}.
\]
Аналогично находим, что
\[
{I_2} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos mx\cos nxdx} =
\begin{cases}
0, & m \ne n \\
\pi, & m = n
\end{cases},
\]
\[
{I_3} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\sin mx\cos nxdx} =
\begin{cases}
0, & m \ne n \\
\pi, & m = n
\end{cases}.
\]
Это значит, что последовательность функций
\[1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x, \ldots ,\cos mx,\sin mx, \ldots \]
образует ортогональную систему на интервале \(\left[ { - \pi ,\pi } \right].\)
Пример 2
Найти разложение функции \(f\left( x \right) = A{x^2} + Bx + C\) в ряд Фурье-Эрмита.
Решение.
Воспользуемся явными выражениями для полиномов Эрмита:
\[{H_0}\left( x \right) = 1,\;\;{H_1}\left( x \right) = 2x,\;\;{H_2}\left( x \right) = 4{x^2} - 2.\]
Применяя метод неопределенных коэффициентов, запишем равенство
\[
{A{x^2} + Bx + C }
= {{c_0}{H_0}\left( x \right) + {c_1}{H_1}\left( x \right) + {c_2}{H_2}\left( x \right).}
\]
Подставляя многочлены Эрмита и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \(x,\) получаем
\[
{A{x^2} + Bx + C = {c_0} \cdot 1 + {c_1} \cdot 2x + {c_2} \cdot \left( {4{x^2} - 2} \right),}\;\;
{\Rightarrow A{x^2} + Bx + C = {c_0} + 2{c_1}x + 4{c_2}{x^2} - 2{c_2},}\;\;
{\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4{c^2} = A}\\
{2{c_1} = B}\\
{{c_0} - 2{c_2} = C}
\end{array}} \right.,}\;\;
{\Rightarrow {c_0} = C + \frac{A}{2},\;\;{c_1} = \frac{B}{2},\;\;{c_2} = \frac{A}{4}.}
\]
Следовательно разложение заданной функции в ряд Фурье-Эрмита описывается выражением
\[
{f\left( x \right) = A{x^2} + Bx + C }
= {\left( {C + \frac{A}{2}} \right){H_0}\left( x \right) + \frac{B}{2}{H_1}\left( x \right) + \frac{A}{4}{H_2}\left( x \right).}
\]
Пример 3
Найти разложение степенной функции \(f\left( x \right) = {x^p},\;p \ge 1\) в ряд Фурье-Лагерра.
Решение.
Данное разложение описывается общей формулой
\[f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{L_n}\left( x \right)} .\]
Вычислим коэффициенты \({{c_n}}.\)
\[
{{c_0} = \int\limits_0^\infty {f\left( x \right){e^{ - x}}dx} }
= {\int\limits_0^\infty {{x^p}{e^{ - x}}dx} }
= {\Gamma \left( {p + 1} \right) = p!,}
\]
где \(\Gamma\)− гамма-функция.
Для \(n \ge 1\) получаем:
\[
{{c_n} = \frac{1}{{n!}}\int\limits_0^\infty {{x^p}\frac{{{d^n}\left( {{x^n}{e^{ - x}}} \right)}}{{d{x^n}}}dx} }
= {\frac{1}{{n!}}\left[ {\left. {\left( {{x^p}\frac{{{d^{n - 1}}\left( {{x^n}{e^{ - x}}} \right)}}{{d{x^{n - 1}}}}} \right)} \right|_0^\infty - \int\limits_0^\infty {p{x^{p - 1}}\frac{{{d^{n - 1}}\left( {{x^n}{e^{ - x}}} \right)}}{{d{x^{n - 1}}}}dx} } \right].}
\]
Продолжая интегрирование по частям, находим что
\[
{{c_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n!}}p\left( {p - 1} \right)\left( {p - 2} \right) \cdots \left( {p - n + 1} \right)\int\limits_0^\infty {{x^p}{e^{ - x}}dx} }
= {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n!}} \cdot \frac{{p!}}{{\left( {p - n} \right)!}} \cdot \Gamma \left( {p + 1} \right) }
= {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{{\left( {p!} \right)}^2}}}{{n!\left( {p - n} \right)!}},}\;\;
{\text{если}\;\;1 \le n \le p.}
\]
Если же \(n>p,\) то \({c_n} = 0.\)
Следовательно, разложение степенной функции \(f\left( x \right) = {x^p}\) в ряд Фурье-Лагерра имеет вид:
\[
{f\left( x \right) = {x^p} }
= {p! + \sum\limits_{n = 1}^p {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{{\left( {p!} \right)}^2}}}{{n!\left( {p - n} \right)!}}{L_n}\left( x \right)} .}
\]
Поскольку \({L_0}\left( x \right) = 1,\) то решение можно записать в более компактной форме:
\[
{f\left( x \right) = {x^p} }
= {\sum\limits_{n = 0}^p {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{{\left( {p!} \right)}^2}}}{{n!\left( {p - n} \right)!}}{L_n}\left( x \right)} .}
\]
Проверим ответ, например, для \(p = 2.\) Тогда
\[
{{x^2} = \sum\limits_{n = 0}^2 {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{{\left( {2!} \right)}^2}}}{{n!\left( {2 - n} \right)!}}{L_n}\left( x \right)} }
= {2{L_0}\left( x \right) - 4{L_1}\left( x \right) + 2{L_2}\left( x \right).}
\]
Подставляя полиномы Лагерра
\[
{{L_0}\left( x \right) = 1,\;\;{L_1}\left( x \right) = 1 - x,}\;\;
{{L_2}\left( x \right) = 1 - 2x + \frac{{{x^2}}}{2} }
\]
в приведенную выше формулу, получаем тождество
\[
{{x^2} }
= {2 \cdot 1 - 4\left( {1 - x} \right) + 2\left( {1 - 2x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right) }
{\equiv {x^2}.}
\]
Пример 4
Найти разложение в ряд Фурье-Лежандра ступенчатой функции
\[
f\left( x \right) =
\begin{cases}
0, & -1 \lt x \lt 0 \\
1, & 0 \lt x \lt 1
\end{cases}.
\]
Решение.
Разложение в ряд записывается в виде
\[f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{P_n}\left( x \right)} .\]
Подставляя явные выражения полиномов Лежандра, получаем
\[
{f\left( x \right) = \frac{{2n + 1}}{2}\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){P_n}\left( x \right)dx} }
= {\frac{{2n + 1}}{2}\int\limits_0^1 {{P_n}\left( x \right)dx} }
= {\frac{{2n + 1}}{2}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{2^n}n!}}\frac{{{d^n}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^n}}}{{d{x^n}}}dx} }
= {\frac{{2n + 1}}{{{2^{n + 1}}n!}}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{d^{n - 1}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^n}}}{{d{x^{n - 1}}}}} \right)} \right|_0^1} \right],}\;\;
{n = 1,2,3, \ldots }
\]
Вычислим коэффициенты \({c_n}.\) Для \(n = 0\) находим, что \({P_0}\left( x \right) = 0.\) Тогда
\[
{{c_0} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){P_0}\left( x \right)dx} }
= {\frac{1}{2}\int\limits_0^1 {dx} = \frac{1}{2}.}
\]
Вычислим теперь значение производной
\({\left. {\left( {\large\frac{{{d^{n - 1}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^n}}}{{d{x^{n - 1}}}}\normalsize} \right)} \right|_0^1},\)
чтобы найти коэффициенты \({c_n}\) при \(n \ge 1.\) Очевидно, что при \(x = 1\) это выражение равно \(0\) при любых
\(n \ge 1.\) Чтобы определить значение производной в точке \(x = 0,\) применим
биномиальную формулу Ньютона:
\[
{\frac{{{d^{n - 1}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^n}}}{{d{x^{n - 1}}}} }
= {\frac{{d{{\left( {\sum\limits_{m = 0}^\infty {C_n^m{{\left( { - 1} \right)}^m}{x^{2n - 2m}}} } \right)}^{n - 1}}}}{{d{x^{n - 1}}}} }
= {\sum\limits_{m = 0}^{m \le \frac{{n + 1}}{2}} {\left[ {C_n^m{{\left( { - 1} \right)}^m}\left( {2n - 2m} \right)\left( {2n - 2m - 1} \right)} \right.} }
{\cdots \left. {\left( { - 2m + n + 2} \right){x^{n - 2m + 1}}} \right].}
\]
Отсюда видно, что сумма равна нулю при \(x = 0\) для четных чисел \(n = 2k,\;k = 0,1,2,3, \ldots \) Для нечетных чисел сумма ряда в точке \(x = 0\)
будет равна
\[
{C_{2k + 1}^{k + 1}{\left( { - 1} \right)^{k + 1}}2k\left( {2k - 1} \right)\left( {2k - 2} \right) \cdots 3 \cdot 2 }
= {C_{2k + 1}^{k + 1}{\left( { - 1} \right)^{k + 1}}\left( {2k} \right)!}
\]
Мы использовали здесь то обстоятельство, что для \(n = 2k + 1\) и \(m = k + 1\) справедливо равенство
\({x^{n - 2m + 1}} = {x^{2k + 1 - 2\left( {k + 1} \right) + 1}} = {x^0} = 1\) при \(x \to 0.\)
Для других значений \(m\) и \(n\) члены ряда равны нулю. Следовательно,
\[{c_{2k}} = 0,\]
\[
{{c_{2k + 1}} = \frac{{4k + 3}}{{{2^{2k + 2}}\left( {2k + 1} \right)!}} \cdot \frac{{\left( {2k + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!k!}}{\left( { - 1} \right)^k}\left( {2k} \right)! }
= {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}\left( {4k + 3} \right)\left( {2k} \right)!}}{{{2^{2k + 2}}\left( {k + 1} \right)!k!}}.}
\]
Таким образом, разложение ступенчатой функции в ряд Фурье-Лежандра представляется формулой
\[
{f\left( x \right) }
= {\frac{1}{2} + \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}\left( {4k + 3} \right)\left( {2k} \right)!}}{{{2^{2k + 2}}\left( {k + 1} \right)!k!}}{P_{2k + 1}}\left( x \right)} .}
\]
На рисунке \(1\) показаны аппроксимации ступенчатой функции данным рядом при \(n = 5, 10 \;\text{и}\;15.\)

Рис.1,
n = 5,
n = 10,
n = 15
Пример 5
Найти разложение функции \(f\left( x \right) = {x^3}\) в ряд Фурье-Чебышева на интервале \(\left[ { - 1,1} \right].\)
Тогда
\[
{{c_m} = \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3}{T_m}\left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} }
= {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^1 {{{\cos }^3}t\cos mtdt} }
= {\frac{2}{\pi }\int\limits_0^\pi {\frac{1}{4}\left( {3\cos t + \cos 3t} \right)\cos mtdt} }
= {\frac{3}{{2\pi }}\int\limits_0^\pi {\cos t\cos mtdt} + \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^\pi {\cos 3t\cos mtdt} .}
\]
Вычислим полученные интегралы отдельно.
\[
{\int\limits_0^\pi {\cos t\cos mtdt} }
= {\frac{1}{2}\int\limits_0^\pi {\left[ {\cos \left( {t - mt} \right) + \cos \left( {t + mt} \right)} \right]dt} }
= {\frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{\sin \left( {m - 1} \right)t}}{{m - 1}} + \frac{{\sin \left( {m + 1} \right)t}}{{m + 1}}} \right)} \right|_0^\pi } \right] = 0,}\;\;
{\text{если}\;\;m \ne 1.}
\]
Для случая \(m = 1\) имеем
\[
{\int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}tdt} }
= {\frac{1}{2}\int\limits_0^\pi {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} }
= {\frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^\pi } \right] }
= {\frac{\pi }{2}.}
\]
Аналогично вычислим второй интеграл:
\[
{\int\limits_0^\pi {\cos 3t\cos mtdt} }
= {\frac{1}{2}\int\limits_0^\pi {\left[ {\cos \left( {3t - mt} \right) + \cos \left( {3t + mt} \right)} \right]dt} }
= {\frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{\sin \left( {m - 3} \right)t}}{{m - 3}} + \frac{{\sin \left( {m + 3} \right)t}}{{m + 3}}} \right)} \right|_0^\pi } \right] = 0,}\;\;
{\text{если}\;\;m \ne 3.}
\]
Если \(m = 3,\) то получаем
\[
{\int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}3tdt} }
= {\frac{1}{2}\int\limits_0^\pi {\left( {1 + \cos 6t} \right)dt} }
= {\frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {t + \frac{{\sin 6t}}{6}} \right)} \right|_0^\pi } \right] }
= {\frac{\pi }{2}.}
\]
Итак, видно, что множество функций \(1,\cos t,\cos 2t,\cos 3t, \ldots ,\cos mt, \ldots \)
ортогонально на интервале \(\left[ {0,\pi } \right],\) и коэффициенты \({c_m}\) равны
\[
{c_m} =
\begin{cases}
0, & m \ne 1,3 \\
\frac{3}{4}, & m = 1 \\
\frac{1}{4}, & m = 3
\end{cases}.
\]
Следовательно, разложение в ряд Фурье-Чебышева функции
\(f\left( x \right) = {x^3}\) на интервале \(\left[ { - 1,1} \right]\) имеет вид:
\[f\left( x \right) = {x^3} = \frac{3}{4}{T_1}\left( x \right) + \frac{1}{4}{T_3}\left( x \right).\]
Решение.
Исходя из общих представлений, можно записать
\[
{{x^3} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{T_n}\left( x \right)} }
= {{c_0} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{c_n}{T_n}\left( x \right)} .}
\]
Для вычисления коэффициентов \({{c_n}}\) воспользуемся свойством ортогональности многочленов Чебышева
на интервале \(\left[ { - 1,1} \right]\) с весовой функцией \(\large\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize .\)
Умножая обе части последнего равенства на \(\large\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize\) и интегрируя на отрезке
\(\left[ { - 1,1} \right],\) получаем
\[
{\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} }
= {\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{T_n}\left( x \right)} } \right)\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} .}
\]
Поскольку функция \(f\left( x \right) = {x^3}\) нечетная, и мы интегрируем на симметричном интервале \(\left[ { - 1,1} \right],\)
то интеграл в левой части равен \(0:\)
\[\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = 0.\]
Преобразуем правую часть:
\[
{\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{T_n}\left( x \right)} } \right)\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} }
= {\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{c_0} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{c_n}{T_n}\left( x \right)} } \right)\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} }
= {{c_0}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {{c_n}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{T_n}\left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} } \right]} .}
\]
Умножая в последнем интеграле числитель подынтегрального выражения на \({T_0}\left( x \right) = 1,\) видим, что
\[\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{T_n}\left( x \right){T_0}\left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} = 0\]
вследствие ортогональности многочленов Чебышева.
Таким образом,
\[{c_0}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = 0.\]
Вычисляя, находим
\[
{\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} }
= {\left. {\left( {\arcsin x} \right)} \right|_{ - 1}^1 }
= {\arcsin 1 - \arcsin \left( { - 1} \right) }
= {\frac{\pi }{2} - \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) }
= {\pi .}
\]
Следовательно, \({c_0} = 0.\)
Аналогично можно определить коэффициенты \({c_n}.\)
Умножим выражение \({x^3} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{T_n}\left( x \right)} \) на
\(\large\frac{{{T_m}\left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize,\;m = 1,2,3, \ldots \)
и проинтегрируем его от \(-1\) до \(1.\) Получаем
\[
{{\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3}{T_m}\left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} }
= {\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sum\limits_{n - 0}^\infty {{c_n}{T_n}\left( x \right)} } \right)\frac{{{T_m}\left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} ,}}\;\;
{{\Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3}{T_m}\left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} }
= {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {{c_n}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{T_n}\left( x \right){T_m}\left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} } \right]} ,}}\;\;
{\Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3}{T_m}\left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} = \frac{\pi }{2}{c_m}.}
\]
в силу свойства ортогональности.
Подставим далее явные выражения для \({{T_m}\left( x \right)}\) и сделаем замену переменной:
\[
{x = \cos t,\;\; \Rightarrow \arccos x = t,}\;\;
{\Rightarrow - \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = dt.}
\]
Пределы интегрирования будут равны
\(x = -1\)
\(\cos t = -1\)
\(t = \pi\)
\(x = 1\)
\(\cos t = 1\)
\(t = 0\)