Определение предела функции

Пусть функция \(f\left( x \right)\) определена на некотором открытом интервале \(X\), содержащем точку \(x = a\). (При этом не требуется, чтобы значение \(f\left( a \right)\) было обязательно определено.) Число \(L\) называется пределом функции \(f\left( x \right)\) при \(x \to a\), если для каждого \(\varepsilon>0\) существует такое число \(\delta>0\), что \[\left| {f\left( x \right) - L} \right|<\varepsilon ,\] при условии \[0<\left| {x - a} \right|<\delta .\] Данное определение предела известно как \(\varepsilon-\delta-\) определение или определение Коши. Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция \(f\left( x \right)\) имеет предел \(L\) в точке \(x = a\), если для каждой последовательности \(\left\{ {{x_n}} \right\}\), сходящейся к точке \(a\), последовательность \(f\left( {{x_n}} \right)\) сходится к \(L\). Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны. Символом \(\lim\limits_{x \to a - 0} \) обозначается левосторонний предел, в котором переменная \(x\), приближаясь к \(a\), принимает значения \(x<a\). Соответствующий предел \(\lim\limits_{x \to a - 0} f\left( x \right)\) называется левосторонним пределом функции \(f\left( x \right)\) в точке \(x = a\). Аналогично, символом \(\lim\limits_{x \to a + 0} \) обозначается правосторонний предел, в котором переменная \(x\), приближаясь к \(a\), принимает значения \(x>a\). Соответствующий предел \(\lim\limits_{x \to a + 0} f\left( x \right)\) называется правосторонним пределом функции \(f\left( x \right)\) в точке \(x = a\). Отметим, что двусторонний предел \(\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)\) существуют лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу, то есть \(\lim\limits_{x \to a - 0}f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a + 0}f\left( x \right) \). В этом случае \[\lim\limits_{x \to a}f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a - 0}f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a + 0}f\left( x \right).\]

Пример 1

Используя \(\varepsilon-\delta-\) определение предела, показать что \(\lim\limits_{x \to 3} \left( {3x - 2} \right) = 7\). Пусть \(\varepsilon>0\) является произвольным положительным числом. Выберем \(\delta = \large\frac{\varepsilon }{3}\normalsize\). Очевидно, что если \[0<\left| {x - 3} \right|<\delta, \] то \[\left| {f\left( x \right) - L} \right| = \left| {\left( {3x - 2} \right) - 7} \right| = \left| {3x - 9} \right| ={ 3\left| {x - 3} \right|<3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon }{3} = \varepsilon .} \] Данный предел доказан в соответствии с определением Коши.

Пример 2

Используя \(\varepsilon-\delta-\) определение предела, показать что \(\lim\limits_{x \to 2} {x^2} = 4\). Положим для простоты, что \(\delta = 1\), т.е. \[\left| {x - 2} \right|<1.\] Пусть \(\varepsilon>0\) является произвольным положительным числом. Тогда можно записать следующее неравенство: \[\left| {{x^2} - 4} \right|<\varepsilon ,\;\; {\Rightarrow \left| {x - 2} \right|\left| {x + 2} \right|<\varepsilon ,\;\; } {\Rightarrow \left| {x - 2} \right|\left( {x + 2} \right)<\varepsilon .} \] Так как максимальное значение \(x\) равно 3 (в соответствии с выбранным выше значением \(\delta\) ), то получаем \[5\left| {x - 2} \right|<\varepsilon \;\;(\text{если } \left| {x - 2} \right|<1),\; {\text{или}\;\left| {x - 2} \right|<\frac{\varepsilon }{2}.} \] Тогда для любого произвольного числа \(\varepsilon>0\) мы можем выбрать число \(\delta\) такое, что \[\delta = \min \left( {\frac{\varepsilon }{2},1} \right).\] В результате неравенства в определении предела будут выполнены. Искомый предел доказан.

Пример 3

Используя \(\varepsilon-\delta-\) определение предела, найти значение \(\delta\), соответствующее заданному числу \(\varepsilon\) для следующего предела \[\lim\limits_{x \to 7} \sqrt {x + 2} = 3,\;\;\varepsilon = 0.2\] В соответствии с определением предела можно записать \[\left| {f\left( x \right) - 3} \right|<\varepsilon ,\;\text{если}\;\left| {x - 7} \right|<\delta .\] Подставляя \({f\left( x \right)}\) и \(\varepsilon\), получаем \[ {\left| {\sqrt {x + 2} - 3} \right|<0.2,}\;\; {\Rightarrow - 0.2<\sqrt {x + 2} - 3<0.2,} \;\; {\Rightarrow 3 - 0.2<\sqrt {x + 2} <3 + 0.2,}\;\; {\Rightarrow 2.8<\sqrt {x + 2} <3.2} \] Возведем в квадрат все части неравенства. \[ {7.84<x + 2<10.24,}\;\; {\Rightarrow 5.84<x<8.24,}\;\; {\Rightarrow - 1.16<x - 7<1.24,} \] что эквивалентно неравенству \[\left| {x - 7} \right|<1.16\] Таким образом, нужно выбрать число \(\delta = 1.16\), чтобы исходное неравенство выполнялось.

Пример 4

Доказать, что \(\lim\limits_{x \to \infty } \large\frac{{x + 1}}{x}\normalsize = 1\). Аналогичную технику мы можем применять и к пределам при \(x \to \infty \). Предположим, что \(\varepsilon>0\). Нам необходимо, чтобы выполнялось следующее неравенство: \[ {\left| {\frac{{x + 1}}{x} - 1} \right|<\varepsilon ,}\;\; {\Rightarrow \left| {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) - 1} \right|<\varepsilon ,}\;\; {\Rightarrow \left| {\frac{1}{x}} \right|<\varepsilon .} \] Выберем некоторое число \(N\), зависящее от \(\varepsilon\), такое, что \(\left| x \right|>N\). Неравенство \(\left| {\large\frac{1}{x}}\normalsize \right|<\varepsilon \) будет удовлетворено, если \[\left| x \right|>\frac{1}{\varepsilon } = N.\] Это означает, что при больших \(N\) (когда \(x \to \infty \)) \[\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{x + 1}}{x} = 1.\] Данная функция схематически показана на рисунке \(1\).

Пример 5

Доказать, что \(\lim\limits_{x \to \infty } \large\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\normalsize = 2\). Предположим, что \(\varepsilon>0\). Найдем число \(N\) - такое, что для любого \(x>N\) будет справедливо неравенство \[\left| {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}} - 2} \right|<\varepsilon .\] Преобразуем данное неравенство. \[ {\left| {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}} - 2} \right|<\varepsilon ,}\;\; {\Rightarrow \left| {\frac{{2x - 3 - 2\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}} \right|<\varepsilon ,}\;\; {\Rightarrow \left| {\frac{{2x - 3 - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right|<\varepsilon ,}\;\; {\Rightarrow \left| {\frac{{ - 5}}{{x + 1}}} \right|<\varepsilon ,}\;\; {\Rightarrow \left| {x + 1} \right|>\frac{5}{\varepsilon }.} \] Поскольку \(0<x<N\), то \(x + 1>0\;\) и можно просто записать \[x + 1>\frac{5}{\varepsilon }\;\;\text{или}\;\;x>\frac{5}{\varepsilon } - 1.\] Полагая \(N = \large\frac{5}{\varepsilon }\normalsize - 1\) (или \(N = 0\), если эта разность отрицательная), получаем \[\left| {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}} - 2} \right|<\varepsilon \;\;\text{для всех}\;\;x>N.\] Это означает, что (см. рис.2) \[\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 2.\]