Производная функции \(y = f\left( x \right)\) характеризует скорость изменения \(y\) относительно \(x\). Пусть в некоторой точке \(x \in \mathbb{R}\) аргумент непрерывной действительной функции \(y = f\left( x \right)\) получает приращение \(\Delta x\). Тогда приращение самой функции будет равно \(\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\). Производной функции \(y = f\left( x \right)\) в точке \(x\) называется предел отношения \(\Delta y/\Delta x\) при \(\Delta x \to 0\): \(y' = f'\left( x \right) = \large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize = \large\frac{{df\left( x \right)}}{{dx}}\normalsize = \lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\normalsize = \lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)}}{{\Delta x}}\normalsize.\)

С геометрической точки зрения производная функции в некоторой точке \(x\) равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной через данную точку: \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize = \tan \alpha \)

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: \(\large\frac{{d\left( {u + v} \right)}}{{dx}}\normalsize = \large\frac{{du}}{{dx}}\normalsize + \large\frac{{dv}}{{dx}}\normalsize\)

Производная разности функций равна разности производных: \(\large\frac{{d\left( {u - v} \right)}}{{dx}}\normalsize = \large\frac{{du}}{{dx}}\normalsize - \large\frac{{dv}}{{dx}}\normalsize\)

Постоянный множитель можно выносить за знак производной: \(\large\frac{{d\left( {ku} \right)}}{{dx}}\normalsize = k\large\frac{{du}}{{dx}}\normalsize\)

Производная произведения двух функций \(\large\frac{{d\left( {u \cdot v} \right)}}{{dx}}\normalsize = \large\frac{{du}}{{dx}}\normalsize \cdot v + u \cdot \large\frac{{dv}}{{dx}}\normalsize\)

Производная частного \(\large\frac{d}{{dx}}\normalsize\left( {\large\frac{u}{v}}\normalsize \right) = \large\frac{{\frac{{du}}{{dx}} \cdot v + u \cdot \frac{{dv}}{{dx}}}}{{{v^2}}}\normalsize\)

Производная сложной функции \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right),\;u = g\left( x \right),\;\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize = \large\frac{{dy}}{{du}}\normalsize \cdot \large\frac{{du}}{{dx}}\normalsize\)

Производная обратной функции \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize = \large\frac{1}{{dx/dy}}\normalsize\),

где \(x\left( y \right)\) является обратной функцией для \(y\left( x \right)\).

\(\large\frac{d}{{dx}}\normalsize \left( {\large\frac{1}{y}}\normalsize \right) = - \large\frac{{dy/dx}}{{{y^2}}}\normalsize\)

Логарифмическая производная \(y = f\left( x \right),\;\ln y = \ln f\left( x \right),\;{\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize} = f\left( x \right) \cdot {\large\frac{d}{{dx}}\normalsize} \left[ {\ln f\left( x \right)} \right]\)