Однородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение \(n\)-го порядка с постоянными коэффициентами записывается в виде \[{ {y^{\left( n \right)}}\left( x \right) + {a_1}{y^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right) + \cdots } + {{a_{n - 1}}y'\left( x \right) + {a_n}y\left( x \right) = 0,} \] где \({a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}\) − постоянные числа, которые могут быть действительными или комплексными. Используя линейный дифференциальный оператор \(L\left( D \right),\) данное уравнение можно представить в виде \[L\left( D \right)y\left( x \right) = 0,\] где \[L\left( D \right) = {D^n} + {a_1}{D^{n - 1}} + \cdots + {a_{n - 1}}D + {a_n}.\] Для каждого дифференциального оператора с постоянными коэффициентами можно ввести характеристический многочлен \[L\left( \lambda \right) = {\lambda ^n} + {a_1}{\lambda ^{n - 1}} + \cdots + {a_{n - 1}}\lambda + {a_n}.\] Алгебраическое уравнение \[L\left( \lambda \right) = {\lambda ^n} + {a_1}{\lambda ^{n - 1}} + \cdots + {a_{n - 1}}\lambda + {a_n} = 0\] называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения. Согласно основной теореме алгебры, многочлен степени \(n\) имеет ровно \(n\) корней с учетом их кратности. При этом корни уравнения могут быть как действительными, так и комплексными (даже если все коэффициенты \({a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}\) действительные). Рассмотрим более детально различные случаи корней характеристического уравнения и соответствующие формулы общего решения дифференциального уравнения. Предположим, что характеристическое уравнение \(L\left( \lambda \right) = 0\) имеет \(n\) корней \({\lambda _1},{\lambda _2}, \ldots ,{\lambda _n}.\) В этом случае общее решение дифференциального уравнения записывается в простом виде: \[y\left( x \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}x}} + {C_2}{e^{{\lambda _2}x}} + \cdots + {C_n}{e^{{\lambda _n}x}},\] где \({C_1},{C_2}, \ldots ,{C_n}\) − постоянные, зависящие от начальных условий. Пусть характеристическое уравнение \(L\left( \lambda \right) = 0\) степени \(n\) имеет \(m\) корней \({\lambda _1},{\lambda _2}, \ldots ,{\lambda _m},\) кратность которых, соответственно, равна \({k_1},{k_2}, \ldots ,{k_m}.\) Ясно, что выполняется условие \[{k_1} + {k_2} + \cdots + {k_m} = n.\] Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид \[ {y\left( x \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}x}} + {C_2}x{e^{{\lambda _1}x}} + \cdots } + {{C_{{k_1}}}{x^{{k_1} - 1}}{e^{{\lambda _1}x}} + \cdots } + {{C_{n - {k_m} + 1}}{e^{{\lambda _m}x}} + {C_{n - {k_m} + 2}}x{e^{{\lambda _m}x}} + \cdots } + {{C_n}{x^{{k_m} - 1}}{e^{{\lambda _m}x}}.} \] Видно, что в формуле общего решения каждому корню \({\lambda _i}\) кратности \({k_i}\) соответствует ровно \({k_i}\) членов, которые образуются умножением \(x\) в определенной степени на экспоненциальную функцию \({e^{{\lambda _i}x}}.\) Степень \(x\) изменяется в интервале от \(0\) до \({k_i} - 1,\) где \({k_i}\) − кратность корня \({\lambda _i}.\) Если коэффициенты дифференциального уравнения являются действительными числами, то комплексные корни характеристического уравнения будут представляться в виде пар комплексно-сопряженных чисел: \[{\lambda _{1,2}} = \alpha \pm i\beta ,\;\;{\lambda _{3,4}} = \gamma \pm i\delta ,\; \ldots \] В этом случае общее решение записывается как \[ {y\left( x \right) = {e^{\alpha x}}\left( {{C_1}\cos \beta x + {C_2}\sin \beta x} \right) } + {{e^{\gamma x}}\left( {{C_3}\cos \delta x + {C_4}\sin \delta x} \right) + \cdots } \] Здесь каждой паре комплексно-сопряженных корней \(\alpha \pm i\beta \) кратности \(k\) соответствует \(2k\) частных решений \[ {{e^{\alpha x}}\cos \beta x,{e^{\alpha x}}\sin\beta x,} {{e^{\alpha x}}x\cos \beta x,{e^{\alpha x}}x\sin \beta x, \ldots ,} {{e^{\alpha x}}{x^{k - 1}}\cos \beta x,{e^{\alpha x}}{x^{k - 1}}\sin\beta x.} \] Тогда часть общего решения дифференциального уравнения, соответствующая данной паре комплексно-сопряженных корней, конструируется следующим образом: \[ {y\left( x \right) = {e^{\alpha x}}\left( {{C_1}\cos \beta x + {C_2}\sin \beta x} \right) } + {x{e^{\alpha x}}\left( {{C_3}\cos \beta x + {C_4}\sin \beta x} \right) + \cdots } + {{x^{k - 1}}{e^{\alpha x}}\left( {{C_{2k - 1}}\cos \beta x + {C_{2k}}\sin \beta x} \right).} \] В общем случае, когда характеристическое уравнение имеет как действительные, так и комплексные корни произвольной кратности, общее решение строится в виде суммы рассмотренных выше решений вида \(1-4.\)

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение \(y''' + 2y'' - y' - 2y = 0.\) Составим соответствующее характеристическое уравнение: \[{\lambda ^3} + 2{\lambda ^2} - \lambda - 2 = 0.\] Решая его, находим корни: \[ {{\lambda ^2}\left( {\lambda + 2} \right) - \left( {\lambda + 2} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda + 2} \right)\left( {{\lambda ^2} - 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda + 2} \right)\left( {\lambda - 1} \right)\left( {\lambda + 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda _1} = - 2,\;{\lambda _2} = 1,\;{\lambda _3} = - 1.} \] Видно, что все три корня действительные. Поэтому, общее решение дифференциального уравнения записывается в виде \[y\left( x \right) = {C_1}{e^{ - 2x}} + {C_2}{e^x} + {C_3}{e^{ - x}},\] где \({C_1},\) \({C_2},\) \({C_3}\) − произвольные постоянные.

Пример 2

Решить уравнение \(y''' - 7y'' + 11y' - 5y = 0.\) Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид: \[{\lambda ^3} - 7{\lambda ^2} + 11\lambda - 5 = 0.\] Легко видеть, что одним из корней является число \(\lambda = 1.\) Тогда, выделяя множитель \(\left( {\lambda - 1} \right),\) получаем \[ {{\lambda ^3} - {\lambda ^2} - 6{\lambda ^2} + 6\lambda + 5\lambda - 5 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^2}\left( {\lambda - 1} \right) - 6\lambda \left( {\lambda - 1} \right) + 5\left( {\lambda - 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda - 1} \right)\left( {{\lambda ^2} - 6\lambda + 5} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda - 1} \right)\left( {\lambda - 1} \right)\left( {\lambda - 5} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\lambda - 1} \right)^2}\left( {\lambda - 5} \right) = 0.} \] Итак, уравнение имеет два корня \({\lambda _1} = 1,\;{\lambda _2} = 5,\) первый из которых имеет кратность \(2.\) Тогда общее решение дифференциального уравнения записывается в следующем виде: \[y\left( x \right) = \left( {{C_1} + {C_2}x} \right){e^x} + {C_3}{e^{5x}},\] где \({C_1},\) \({C_2},\) \({C_3}\) − произвольные числа.

Пример 3

Решить уравнение \({y^{IV}} - y''' + 2y' = 0.\) Составляем характеристическое уравнение: \[{\lambda ^4} - {\lambda ^3} + 2\lambda = 0.\] Раскладываем левую часть на множители и находим корни: \[\lambda \left( {{\lambda ^3} - {\lambda ^2} + 2} \right) = 0.\] Заметим, что одним из корней кубического многочлена является число \(\lambda = -1.\) Поэтому разделим \({{\lambda ^3} - {\lambda ^2} + 2}\) на \(\lambda + 1:\) \[\frac{{{\lambda ^3} - {\lambda ^2} + 2}}{{\lambda + 1}} = {\lambda ^2} - 2\lambda + 2.\] В результате характеристическое уравнение принимает следующий вид: \[\lambda \left( {\lambda + 1} \right)\left( {{\lambda ^2} - 2\lambda + 2} \right) = 0.\] Найдем корни квадратного уравнения: \[ {{\lambda ^2} - 2\lambda + 2 = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 4 - 8 = - 4,}\;\; {\Rightarrow \lambda = \frac{{2 \pm \sqrt { - 4} }}{2} = \frac{{2 \pm 2i}}{2} = 1 \pm i.} \] Итак, характеристическое уравнение имеет четыре различных корня, два из которых комплексные: \[{ {\lambda _1} = 0,\;\;{\lambda _2} = - 1,}\;\; {{\lambda _{3,4}} = 1 \pm i.} \] Общее решение дифференциального уравнения представляется в виде \[ {y\left( x \right) = {C_1} + {C_2}{e^{ - x}} } + {{e^x}\left( {{C_3}\cos x } + {{C_4}\sin x} \right),} \] где \({C_1}, \ldots, {C_4}\) − произвольные постоянные.

Пример 4

Решить уравнение \({y^V} + 18y''' + 81y' = 0.\) Характеристическое уравнение записывается в виде \[{\lambda ^5} + 18{\lambda ^3} + 81\lambda = 0.\] Раскладываем левую часть на множители и вычисляем корни: \[ {\lambda \left( {{\lambda ^4} + 18{\lambda ^2} + 81} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \lambda {\left( {{\lambda ^2} + 9} \right)^2} = 0.} \] Как видно, уравнение имеет следующие корни: \[{\lambda _1} = 0,\;{\lambda _{2,3}} = \pm 3i,\] причем мнимые корни имеют кратность \(2.\) В соответствии с изложенными выше правилами записываем общее решение в виде \[ {y\left( x \right) = {C_1} + \left( {{C_2} + {C_3}x} \right)\cos 3x } + {\left( {{C_4} + {C_5}x} \right)\sin 3x,} \] где \({C_1}, \ldots, {C_5}\) − произвольные числа.

Пример 5

Решить уравнение \({y^{IV}} - 4y''' + 5y'' - 4y' + 4y = 0.\) Вычислим корни характеристического уравнения \[{\lambda ^4} - 4{\lambda ^3} + 5{\lambda ^2} - 4\lambda + 4 = 0.\] Разложим левую часть на множители: \[ {{\lambda ^4} - 2{\lambda ^3} - 2{\lambda ^3} + 4{\lambda ^2} + {\lambda ^2} - 2\lambda - 2\lambda + 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {{\lambda ^4} - 2{\lambda ^3}} \right) - \left( {2{\lambda ^3} - 4{\lambda ^2}} \right) + \left( {{\lambda ^2} - 2\lambda } \right) - \left( {2\lambda - 4} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {\lambda ^3}\left( {\lambda - 2} \right) - 2{\lambda ^2}\left( {\lambda - 2} \right) + \lambda \left( {\lambda - 2} \right) - 2\left( {\lambda - 2} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right)\left( {{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} + \lambda - 2} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right)\left[ {{\lambda ^2}\left( {\lambda - 2} \right) + \lambda - 2} \right] = 0,\;\; } {\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right)\left( {\lambda - 2} \right)\left( {{\lambda ^2} + 1} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\lambda - 2} \right)^2}\left( {{\lambda ^2} + 1} \right) = 0.} \] Видно, что корни уравнения равны \[{\lambda _1} = 2,\;\;{\lambda _{3,4}} = \pm i.\] Первый корень здесь имеет кратность \(2.\) Общее решение дифференциального уравнения выражается формулой \[ {y\left( x \right) = \left( {{C_1} + {C_2}x} \right){e^{2x}} } + {{C_3}\cos x + {C_4}\sin x,} \] где \({C_1}, \ldots, {C_4}\) − как обычно, произвольные постоянные.