Однородные дифференциальные уравнения высшего порядка с переменными коэффициентами

Линейное однородное уравнение \(n\)-го порядка имеет вид \[{y^{\left( n \right)}} + {a_1}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {a_{n - 1}}\left( x \right)y' + {a_n}\left( x \right)y = 0,\] где коэффициенты \({a_1}\left( x \right),{a_2}\left( x \right), \ldots ,{a_n}\left( x \right)\) являются непрерывными функциями на некотором отрезке \(\left[ {a,b} \right].\) Левую часть уравнения можно записать сокращенно, используя линейный дифференциальный оператор\(L:\) \[Ly\left( x \right) = 0,\] где \(L\) обозначает совокупность операций дифференцирования, умножения на коэффициенты \({a_i}\left( x \right)\) и сложения. Оператор \(L\) является линейным, и, поэтому, обладает следующими свойствами:

1. \(L\left[ {{y_1}\left( x \right) + {y_2}\left( x \right)} \right] = L\left[ {{y_1}\left( x \right)} \right] + L\left[ {{y_2}\left( x \right)} \right],\)

2. \(L\left[ {Cy\left( x \right)} \right] = CL\left[ {y\left( x \right)} \right],\)

где \({{y_1}\left( x \right)},\) \({{y_2}\left( x \right)}\) − произвольные функции, дифференцируемые \(n - 1\) раз, \(C\) − любое число. Из свойств оператора \(L\) следует, что если функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\) являются решениями однородного дифференциального уравнения \(n\)-го порядка, то функция вида \[y\left( x \right) = {C_1}{y_1} + {C_2}{y_2} + \cdots + {C_n}{y_n},\] где \({C_1},{C_2}, \ldots ,{C_n}\) − произвольные постоянные, также будет удовлетворять данному уравнению. Последнее выражение представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения, если указанные функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\) образуют фундаментальную систему решений. Совокупность \(n\) линейно независимых частных решений \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\) называется фундаментальной системой линейного однородного дифференциального уравнения \(n\)-го порядка. Функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\) являются линейно независимыми на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) если тождество \[{\alpha _1}{y_1} + {\alpha _2}{y_2} + \cdots + {\alpha _n}{y_n} \equiv 0\] выполняется лишь при условии \[{\alpha _1} = {\alpha _2} = \cdots = {\alpha _n} = 0,\] где числа \({\alpha _1},{\alpha _2}, \ldots ,{\alpha _n}\) одновременно не равны \(0.\) Для проверки функций на линейную независимость удобно использовать определитель Вронского или вронскиан: \[ {W\left( x \right) = {W_{{y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}}}\left( x \right) } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}& \cdots &{{y_n}}\\ {{y'_1}}&{{y'_2}}& \cdots &{{y'_n}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {y_1^{\left( {n - 1} \right)}}&{y_2^{\left( {n - 1} \right)}}& \cdots &{y_n^{\left( {n - 1} \right)}} \end{array}} \right|.} \] Если функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n},\) дифференцируемые \(n - 1\) раз, являются линейно зависимыми на отрезке \(\left[ {a,b} \right],\) то выполняется тождество: \[W\left( x \right) \equiv 0.\] Соответственно, если эти функции линейно независимые на \(\left[ {a,b} \right],\) то справедлива формула \[W\left( x \right) \ne 0.\] Фундаментальная система решений однозначно определяет линейное однородное дифференциальное уравнение. В частности, уравнение 3-го порядка записывается по известной фундаментальной системе \({y_1},{y_2},{y_3}\) через определитель в следующем виде: \[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}&{{y_3}}&y\\ {{y'_1}}&{{y'_2}}&{{y'_3}}&y'\\ {{y''_1}}&{{y''_2}}&{{y''_3}}&y''\\ {{y'''_1}}&{{y'''_2}}&{{y'''_3}}&y''' \end{array}} \right| = 0.} \] Выражение для дифференциального уравнения \(n\)-го порядка записывается аналогично: \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}& \cdots &{{y_n}}&y\\ {{y'_1}}&{{y'_2}}& \cdots &{{y'_n}}&y'\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {y_1^{\left( n \right)}}&{y_2^{\left( n \right)}}& \cdots &{y_n^{\left( n \right)}}&{{y^{\left( n \right)}}} \end{array}} \right| = 0.\] Пусть функции \({y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}\) образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения \(n\)-го порядка. Предположим, что точка \({x_0}\) принадлежит отрезку \(\left[ {a,b} \right].\) Тогда для определителя Вронского справедлива формула Лиувилля-Остроградского: \[W\left( x \right) = W\left( {{x_0}} \right){e^{ - \int\limits_{{x_0}}^x {{a_1}\left( t \right)dt} }},\] где \({a_1}\) − коэффициент перед производной \({y^{\left( {n - 1} \right)}}\) в дифференциальном уравнении. Здесь мы считаем, что коэффициент \({a_0}\left( x \right)\) перед \({y^{\left( n \right)}}\) в дифференциальном уравнении равен \(1.\) В противном случае формула Лиувилля-Остроградского принимает вид: \[ {W\left( x \right) = W\left( {{x_0}} \right){e^{ - \int\limits_{{x_0}}^x {\frac{{{a_1}\left( t \right)}}{{{a_0}\left( t \right)}}dt} }},}\;\; {{a_0}\left( t \right) \ne 0,\;\;t \in \left[ {a,b} \right].} \] Порядок линейного однородного уравнения \[ {Ly\left( x \right) = {y^{\left( n \right)}} + {a_1}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots } + {{a_{n - 1}}\left( x \right)y' + {a_n}\left( x \right)y = 0} \] можно понизить на единицу с помощью подстановки \(y' = yz.\) К сожалению, обычно такая подстановка не упрощает решение, поскольку новое уравнение относительно переменной \(z\) является нелинейным. Если известно частное решение \({y_1},\) то порядок дифференциального уравнения понижается (при сохранении его линейности) в результате замены \[y = {y_1}z,\;\;z' = u.\] В общем случае, если известно \(k\) линейно независимых частных решений, то порядок уравнения можно понизить на \(k\) единиц.

Пример 1

Показать, что функции \(x,\) \(\sin x,\) \(\cos x\) являются линейно независимыми. Составим вронскиан \(W\left( x \right)\) для данной системы функций: \[\require{cancel} {W\left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&{\sin x}&{\cos x}\\ 1&{\cos x}&{ - \sin x}\\ 0&{ - \sin x}&{ - \cos x} \end{array}} \right| } = {x\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x}&{ - \sin x}\\ { - \sin x}&{ - \cos x} \end{array}} \right| } - {1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x}&{\cos x}\\ { - \sin x}&{ - \cos x} \end{array}} \right| } = {x\left( { - {{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) } - {1 \cdot \left( { - \cancel{\sin x\cos x} + \cancel{\sin x\cos x}} \right) } = { - x \ne 0.} \] Поскольку определитель Вронского тождественно не равен нулю, то, следовательно, данная система функций линейно независимая.

Пример 2

Показать, что функции \(x,{x^2},{x^3},{x^4}\) образуют линейно независимую систему. Вычислим соответствующий определитель Вронского: \[ {W\left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&{{x^2}}&{{x^3}}&{{x^4}}\\ 1&{2x}&{3{x^2}}&{4{x^3}}\\ 0&2&{6x}&{12{x^2}}\\ 0&0&6&{24x} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ {{R_1} - x{R_2}}\\ {}\\ {} \end{array} } = {\left( { - \frac{1}{x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&{{x^2}}&{{x^3}}&{{x^4}}\\ 0&{ - {x^2}}&{ - 2{x^3}}&{ - 3{x^4}}\\ 0&2&{6x}&{12{x^2}}\\ 0&0&6&{24x} \end{array}} \right| } = {\left( { - \frac{1}{x}} \right) \cdot x \cdot \left( { - 1} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2}}&{2{x^3}}&{3{x^4}}\\ 2&{6x}&{12{x^2}}\\ 0&6&{24x} \end{array}} \right| } = {1 \cdot \left[ {{x^2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {6x}&{12{x^2}}\\ 6&{24x} \end{array}} \right| } - {2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^3}}&{3{x^4}}\\ 6&{24x} \end{array}} \right|} \right] } = {{x^2}\left( {144{x^2} - 72{x^2}} \right) } - {2\left( {48{x^4} - 18{x^4}} \right) } = {12{x^4} \ne 0.} \] Поскольку определитель тождественно не равен нулю, то данные функции являются линейно независимыми.

Пример 3

Составить дифференциальное уравнение, фундаментальная система которого образована функциями \(1,{x^2},{e^x}.\) Данное уравнение записывается через определитель в виде: \[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{x^2}}&{{e^x}}&y\\ 0&{2x}&{{e^x}}&{y'}\\ 0&2&{{e^x}}&{y''}\\ 0&0&{{e^x}}&{y'''} \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow 1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2x}&{{e^x}}&{y'}\\ 2&{{e^x}}&{y''}\\ 0&{{e^x}}&{y'''} \end{array}} \right| = 0,}\;\; {\Rightarrow 2x\left( {{e^x}y''' - {e^x}y''} \right) - 2\left( {{e^x}y''' - {e^x}y'} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 2x{e^x}y''' - 2x{e^x}y'' - 2{e^x}y''' + 2{e^x}y' = 0,}\;\; {\Rightarrow 2{e^x}\left( {xy''' - xy'' - y''' + y'} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {x - 1} \right)y''' - xy'' + y' = 0.} \]

Пример 4

Найти общее решение уравнения \(\left( {2x - 3} \right)y''' - \left( {6x - 7} \right)y'' + 4xy' - 4y = 0,\) если известны частные решения \({y_1} = {e^x},{y_2} = {e^{2x}}.\) Сделаем замену: \(y = {y_1}z = {e^x}z.\) Производные будут равны \[ {y' = {\left( {{e^x}z} \right)^\prime } } = {{e^x}z + {e^x}z' } = {{e^x}\left( {z + z'} \right),} \] \[ {y'' = {\left[ {{e^x}\left( {z + z'} \right)} \right]^\prime } } = {{e^x}\left( {z + z'} \right) + {e^x}\left( {z' + z''} \right) } = {{e^x}\left( {z + 2z' + z''} \right),} \] \[ {y''' = {\left[ {{e^x}\left( {z + 2z' + z''} \right)} \right]^\prime } } = {{e^x}\left( {z + 2z' + z''} \right) + {e^x}\left( {z' + 2z'' + z'''} \right) } = {{e^x}\left( {z + 3z' + 3z'' + z'''} \right).} \] Заметим, что производную \(n\)-го порядка от произведения двух функций \({y_1}z\) можно сразу вычислить по формуле Лейбница: \[{y^{\left( n \right)}}\left( x \right) = {\left( {{y_1}z} \right)^{\left( n \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^n {\left[ {C_n^iy_1^{\left( i \right)}{z^{\left( {n - i} \right)}}} \right]} .\] Подставляя производные в уравнение и сокращая на \({e^x},\) имеем \[ {\left( {2x - 3} \right)\left( {z + 3z' + 3z'' + z'''} \right) } - {\left( {6x - 7} \right)\left( {z + 2z' + z''} \right) } + {4x\left( {z + z'} \right) - 4z = 0.} \] После простых преобразований уравнение принимает вид: \[ {\cancel{\left( {2x - 3} \right)z} + \left( {6x - 9} \right)z' } + {\left( {6x - 9} \right)z'' + \left( {2x - 3} \right)z''' } - {\cancel{\left( {6x - 7} \right)z} - \left( {12x - 14} \right)z' } - {\left( {6x - 7} \right)z'' } + {\cancel{4xz} + 4xz' - \cancel{4z} = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {2x - 3} \right)z''' - 2z'' - \left( {2x - 5} \right)z' = 0.} \] Полагая \(z' = u,\) получаем однородное линейное уравнение второго порядка: \[\left( {2x - 3} \right)u'' - 2u' - \left( {2x - 5} \right)u = 0.\] Его порядок можно снова понизить на единицу, воспользовавшись известным вторым частным решением \({y_2} = {e^{2x}}.\) Этому решению \({y_2}\) соответствует функция \({z_2}:\) \[{y_2} = {y_1}{z_2},\;\; \Rightarrow {z_2} = \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}} = \frac{{{e^{2x}}}}{{{e^x}}} = {e^x}.\] Отсюда получаем частное решение \({u_1}:\) \[{u_1} = {z'_2} = {\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}.\] Далее действуем по той же схеме. Сделаем следующую замену: \[ {u = {u_1}v = {e^x}v,}\;\; {\Rightarrow u' = {e^x}\left( {v + v'} \right),}\;\; {\Rightarrow u'' = {e^x}\left( {v + 2v' + v''} \right).} \] Получаем дифференциальное уравнение для новой переменной \(v:\) \[ {\left( {2x - 3} \right)\left( {v + 2v' + v''} \right) - 2\left( {v + v'} \right) - \left( {2x - 5} \right)v = 0,}\;\; {\Rightarrow \cancel{\left( {2x - 3} \right)v} + \left( {4x - 6} \right)v' } + {\left( {2x - 3} \right)v'' - \cancel{2v} - 2v' - \cancel{\left( {2x - 5} \right)v} = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {2x - 3} \right)v'' + \left( {4x - 8} \right)v' = 0.} \] Обозначим \(v' = w.\) Тогда можно записать: \[\left( {2x - 3} \right)w' + \left( {4x - 8} \right)w = 0.\] Последнее уравнение является уравнением \(1\)-го порядка с разделяющимися переменными. Находим его общее решение: \[ {\left( {2x - 3} \right)\frac{{dw}}{{dx}} = - \left( {4x - 8} \right)w,}\;\; {\Rightarrow \frac{{dw}}{w} = - \frac{{4x - 8}}{{2x - 3}}dx,}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{dw}}{w}} = - \int {\frac{{4x - 8}}{{2x - 3}}dx} ,}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{dw}}{w}} = - \int {\left( {2 - \frac{2}{{2x - 3}}} \right)dx} ,}\;\; {\Rightarrow \ln \left| w \right| = - 2x + \ln \left| {2x - 3} \right| + \ln {C_1},}\;\; {\Rightarrow \ln \left| w \right| = \ln {e^{ - 2x}} + \ln \left| {2x - 3} \right| + \ln {C_1},}\;\; {\Rightarrow \ln \left| w \right| = \ln \left( {{C_1}\left| {2x - 3} \right|{e^{ - 2x}}} \right),}\;\; {\Rightarrow w = {C_1}\left( {2x - 3} \right){e^{ - 2x}}.} \] Теперь востановим функцию \(v,\) интегрируя полученное выражение для \(w:\) \[v = \int {wdx} = {C_1}\int {\left( {2x - 3} \right){e^{ - 2x}}dx} .\] Этот интеграл вычисляется по частям: \[ {v = {C_1}\int {\left( {2x - 3} \right){e^{ - 2x}}dx} } = {{C_1}\left( {2x - 3} \right)\left( { - \frac{1}{2}} \right){e^{ - 2x}} - \int {2\left( { - \frac{1}{2}} \right){e^{ - 2x}}dx} } = {{C_1}\left[ {\left( { - x + \frac{3}{2}} \right){e^{ - 2x}} + \int {{e^{ - 2x}}dx} } \right] } = {{C_1}\left[ {\left( { - x + \frac{3}{2}} \right){e^{ - 2x}} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}} \right] + {C_2} } = { - {C_1}{e^{ - 2x}}\left( {x - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \right) + {C_2} } = { - {C_1}\left( {x - 1} \right){e^{ - 2x}} + {C_2}.} \] Далее определим функцию \(u:\) \[ {u = {u_1}v = {e^x}v } = {{e^x}\left[ { - {C_1}\left( {x - 1} \right){e^{ - 2x}} + {C_2}} \right] } = {-{C_1}\left( {x - 1} \right){e^{ - x}} + {C_2}{e^x}.} \] Выполняя еще одно интегрирование, находим функцию \(z:\) \[ {z = \int {udx} = \int {\left[ { - {C_1}\left( {x - 1} \right){e^{ - x}} + {C_2}{e^x}} \right]dx} } = { - {C_1}\int {\left( {x - 1} \right){e^{ - x}}dx} + {C_2}\int {{e^x}dx} } = { - {C_1}\left[ { - \left( {x - 1} \right){e^{ - x}} - \int {\left( { - {e^{ - x}}} \right)dx} } \right] + {C_2}\int {{e^x}dx} } = { - {C_1}\left[ { - \left( {x - 1} \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}} \right] + {C_2}{e^x} + {C_3} } = {{C_1}x{e^{ - x}} + {C_2}{e^x} + {C_3}.} \] Наконец, находим общее решение \(y\left( x \right):\) \[ {y = {e^x}z } = {{e^x}\left( {{C_1}x{e^{ - x}} + {C_2}{e^x} + {C_3}} \right) } = {{C_1}x + {C_2}{e^{2x}} + {C_3}{e^x},} \] где \({C_1},{C_2},{C_3}\) − произвольные числа.