Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля

Рассмотрим кусочно непрерывную функцию \(f\left( x \right),\) заданную в интервале \(\left[ { - \pi ,\pi } \right].\) Ее разложение в ряд Фурье имеет вид \[f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_n}\cos nx + {b_n}\sin nx} \right)} .\] В неравенстве Бесселя устанавливается, что \[\frac{{{a_0^2}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {a_n^2 + b_n^2} \right)} \le \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {{f^2}\left( x \right)dx} .\] Отсюда следует, что ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {a_n^2 + b_n^2} \right)} \) сходится. Если \(f\left( x \right)\) является квадратично интегрируемой функцией в интервале \(\left[ { - \pi ,\pi } \right],\) так что выполняется соотношение \[\int\limits_{ - \pi }^\pi {{f^2}\left( x \right)dx} \le \infty,\] то неравенство Бесселя становится равенством. В этом случае справедлива формула Парсеваля: \[\frac{{{a_0^2}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {a_n^2 + b_n^2} \right)} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {{f^2}\left( x \right)dx} .\] Снова предположим, что \(f\left( x \right)\) является квадратично интегрируемой функцией в интервале \(\left[ { - \pi ,\pi } \right].\) Пусть \({{c_n}}\) − ее комплексные коэффициенты Фурье, то есть \[f\left( x \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{c_n}{e^{inx}}} ,\] где \[{c_n} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right){e^{ - inx}}dx} .\] Тогда формула Парсеваля записывается в виде \[\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{{\left| {{c_n}} \right|}^2}} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {{f^2}\left( x \right)dx} .\] Заметим, что энергия \(2\pi\)-периодической волны \(f\left( x \right)\) равна \[E = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {{f^2}\left( x \right)dx} .\]

Пример 1

Вычислить сумму ряда \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}\normalsize}} .\) Указание: применить формулу Парсеваля к функции \(f\left( x \right) = x.\) Разложение в ряд Фурье функции \(f\left( x \right) = x\) в интервале \(\left[ { - \pi ,\pi } \right]\) имеет вид \[f\left( x \right) = x = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{2}{n}{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}\sin nx} .\] (Смотрите пример \(3\) на странице Определение ряда Фурье и типичные примеры.) Здесь коэффициенты Фурье имеют следующие значения: \({a_0} = {a_n} = 0\) (поскольку функция \(f\left( x \right) = x\) нечетная) и \({b_n} = \large\frac{2}{n}\normalsize {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\) Используя формулу Парсеваля. получаем \[ {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left[ {\frac{2}{n}{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}} \right]}^2}} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {{x^2}dx} ,}\;\; {\Rightarrow 4\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} = \frac{1}{\pi }\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - \pi }^\pi } \right],}\;\; {\Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} = \frac{1}{{4\pi }}\left( {\frac{{{\pi ^3}}}{3} - \frac{{{{\left( { - \pi } \right)}^3}}}{3}} \right),}\;\; {\Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} = \frac{1}{{4\pi }} \cdot \frac{{2{\pi ^3}}}{3} = \frac{{{\pi ^2}}}{6}.} \] Отметим, что \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^s}}}\normalsize} \) называется дзета-функцией Римана \(\zeta \left( s \right).\) Таким образом, мы доказали, что \[\zeta \left( 2 \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} = \frac{{{\pi ^2}}}{6}.\]

Пример 2

Применить формулу Парсеваля к функции \(f\left( x \right) = {x^2}.\) В примере \(4\) на странице Определение ряда Фурье и типичные примеры было найдено разложение функции \(f\left( x \right) = {x^2}\) в ряд Фурье в интервале \(\left[ { - \pi ,\pi } \right]:\) \[f\left( x \right) = {x^2} = \frac{{{\pi ^2}}}{3} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{4}{{{n^2}}}{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos nx} ,\] где \[{a_0} = \frac{{2{\pi ^2}}}{3},\;\;{a_n} = \frac{4}{{{n^2}}}{\left( { - 1} \right)^n},\;\;{b_n} = 0.\] Записывая равенство Парсеваля для этой функции, получаем \[ {\frac{{{a_0^2}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {a_n^2 + b_n^2} \right)} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {{f^2}\left( x \right)dx} ,}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{2}{\left( {\frac{{2{\pi ^2}}}{3}} \right)^2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left[ {\frac{4}{{{n^2}}}{{\left( { - 1} \right)}^n}} \right]}^2}} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {{x^4}dx} ,}\;\; {\Rightarrow \frac{{2{\pi ^4}}}{9} + 16\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^4}}}} = \frac{1}{\pi }\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_{ - \pi }^\pi } \right],}\;\; {\Rightarrow \frac{{2{\pi ^4}}}{9} + 16\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^4}}}} = \frac{1}{\pi } \cdot \frac{{2{\pi ^5}}}{5},}\;\; {\Rightarrow 16\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^4}}}} = \frac{{2{\pi ^4}}}{5} - \frac{{2{\pi ^4}}}{9},}\;\; {\Rightarrow 16\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^4}}}} = \frac{{8{\pi ^4}}}{{45}},}\;\; {\Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^4}}}} = \frac{{{\pi ^4}}}{{90}}.} \] Ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^s}}}\normalsize} \) известен как дзета-функция Римана \(\zeta \left( s \right).\) Следовательно, \[\zeta \left( 4 \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^4}}}} = \frac{{{\pi ^4}}}{{90}}.\]

Пример 3

Применяя формулу Парсеваля к функции \[ f\left( x \right) = \begin{cases} 1, & \text{если} & 0 \le \left| x \right| \le d \\ 0, & \text{если} & d \le \left| x \right| \le \pi \end{cases}, \] найти суммы рядов \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{{\sin }^2}nd}}{{{n^2}}}\normalsize} \) и \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{{\cos }^2}nd}}{{{n^2}}}\normalsize}.\) Разложение данной функции в ряд Фурье имеет вид (попробуйте найти это самостоятельно): \[f\left( x \right) = \frac{d}{\pi } + \frac{2}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin nd}}{n}\cos nx} .\] Коэффициенты Фурье в этом разложении равны \[{a_0} = \frac{{2d}}{\pi },\;\;{a_n} = \frac{{2\sin nd}}{{n\pi }},\;\;{b_n} = 0.\] Применяя к данной функции равенство Парсеваля \[\frac{{{a_0^2}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {a_n^2 + b_n^2} \right)} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {{f^2}\left( x \right)dx},\] получаем \[ {\frac{1}{2}{\left( {\frac{{2d}}{\pi }} \right)^2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left[ {\frac{{2\sin nd}}{{n\pi }}} \right]}^2}} = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^\pi {{f^2}\left( x \right)dx} ,}\;\; {\Rightarrow \frac{{2{d^2}}}{{{\pi ^2}}} + \frac{4}{{{\pi ^2}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\sin }^2}nd}}{{{n^2}}}} = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^d {dx} ,}\;\; {\Rightarrow \frac{{{d^2}}}{\pi } + \frac{2}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\sin }^2}nd}}{{{n^2}}}} = d,}\;\; {\Rightarrow \frac{2}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\sin }^2}nd}}{{{n^2}}}} = d - \frac{{{d^2}}}{\pi },}\;\; {\Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\sin }^2}nd}}{{{n^2}}}} = \frac{{d\left( {\pi - d} \right)}}{\pi } \cdot \frac{\pi }{2},}\;\; {\Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\sin }^2}nd}}{{{n^2}}}} = \frac{{d\left( {\pi - d} \right)}}{2}.} \] Несложно также найти и сумму ряда \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{{\cos }^2}nd}}{{{n^2}}}\normalsize}:\) \[ {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{\cos^2}nd}}{{{n^2}}}} } = {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{1 - {\sin^2}nd}}{{{n^2}}}} } = {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{\sin^2}nd}}{{{n^2}}}} .} \] Здесь \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize} = \zeta \left( 2 \right) = \large\frac{{{\pi ^2}}}{6}\normalsize\) (смотрите пример \(1\) выше). Следовательно, \[ {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{\cos^2}nd}}{{{n^2}}}} } = {\frac{{{\pi ^2}}}{6} - \frac{{d\left( {\pi - d} \right)}}{2} } = {\frac{{{\pi ^2} - 3\pi d + 3{d^2}}}{6}.} \]

Пример 4

Вычислить сумму ряда \(\sum\limits_{k = 0}^\infty {\large\frac{1}{{{{\left( {2k + 1} \right)}^2}}}\normalsize} .\) В предыдущей задаче было найдено, что \[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\sin }^2}nd}}{{{n^2}}}} = \frac{{d\left( {\pi - d} \right)}}{2}.\] Полагая \(d = \large\frac{\pi }{2}\normalsize,\) получаем \[ {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\sin }^2}\frac{{n\pi }}{2}}}{{{n^2}}}} = \frac{{\frac{\pi }{2}\left( {\pi - \frac{\pi }{2}} \right)}}{2}\;\;\text{или}}\;\; {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\sin }^2}\frac{{n\pi }}{2}}}{{{n^2}}}} = \frac{{{\pi ^2}}}{8}.} \] Можно заметить, что \[ {\frac{{n\pi }}{2}} = \begin{cases} 0, & n = 2k \\ 1, & n = 4k + 1 \\ -1, & n = 4k + 3 \end{cases},\;\; \text{где}\;\;k = 0,1,2,3,\ldots \] Следовательно, \[ {{{\sin }^2}\frac{{n\pi }}{2}} = \begin{cases} 0, & n = 2k \\ 1, & n = 2k + 1 \end{cases},\;\; \text{где}\;\;k = 0,1,2,3,\ldots \] Тогда сумма ряда равна \[\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {2k + 1} \right)}^2}}}} = \frac{{{\pi ^2}}}{8}.\]