Неравенства
Действительные числа: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(x\), \(m\), \(n\) Положительные действительные числа: \({a_1}\), \({a_2}\), ..., \({a_n}\)

  1. Неравенства и промежутки числовой прямой

    2. Неравенство
    Промежуток
    Графическое обозначение
    \(a \le x \le b\)
    \(\left[ {a,b} \right]\)
    замкнутый промежуток
    \(a \lt x \le b\)
    \(\left( {a,b} \right]\)
    полуоткрытый (слева) промежуток
    \(a \le x \lt b\)
    \(\left[ {a,b} \right)\)
    полуоткрытый (справа) промежуток
    \(a \lt x \lt b\)
    \(\left( {a,b} \right)\)
    открытый промежуток
    \( - \infty \lt x \le b\) или \(x \le b\)
    \(\left( {-\infty,b} \right]\)
    полуоткрытый бесконечный (слева) промежуток
    \( - \infty \lt x \lt b\)
    \(\left( {-\infty,b} \right)\)
    открытый бесконечный (слева) промежуток
    \(a \le x \lt \infty\) или \(x \ge a\)
    \(\left[ {a,\infty} \right)\)
    полуоткрытый бесконечный (справа) промежуток
    \(a \lt x \lt \infty\) или \(x \gt a\)
    \(\left( {a,\infty} \right)\)
    открытый бесконечный (слева) промежуток

  2. Строгие неравенства \(a<b\) означает "\(a\) меньше, чем \(b\)", \(a>b\) означает "\(a\) больше, чем \(b\)".

  3. Нестрогие неравенства \(a \le b\) означает "\(a\) меньше или равно \(b\)", \(a \ge b\) означает "\(a\) больше или равно \(b\)".

  4. Если \(a>b\), то \(b<a\).

  5. Если \(a>b\), то \(a - b>0\) или (эквивалентно) \(b - a<0\).

  6. Свойство транзитивности Если \(a>b\) и \(b>c\), то \(a>c\).

  7. Знак неравенства сохраняется, если к обеим частям прибавить одно и то же произвольное число: Если \(a>b\), то \(a + c>b + c\).

  8. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный: Если \(a + b>c\), то \(a>c - b\).

  9. Если \(a>b\) и \(c>d\), то \(a + c>b + d\).

  10. Если \(a>b\) и \(c>d\), то \(a - d>b - c\).

  11. Знак неравенства сохраняется, если обе части умножить на одно и то же положительное число: Если \(a>b\) и \(m>0\), то \(ma>mb\).

  12. Знак неравенства сохраняется, если обе части разделить на одно и то же положительное число: Если \(a>b\) и \(m>0\), то \(a/m>b/m\).

  13. Знак неравенства меняется на противоположный, если обе части умножить на одно и то же отрицательное число: Если \(a>b\) и \(m<0\), то \(ma<mb\).

  14. Знак неравенства меняется на противоположный, если обе части разделить на одно и то же отрицательное число: Если \(a>b\) и \(m<0\), то \(a/m<b/m\).

  15. Если \(a>b>0\), то \(1/b>1/a\).

  16. Умножение неравенств Если \(a>b>0\) и \(c>d>0\), то \(ac>bd\).

  17. Деление неравенств Если \(a \ge b>0\) и \(c>d>0\), то \(a/d>b/c\).

  18. Возведение неравенства в степень при положительном показателе Если \(a>b>0\) и \(n>0\), то \({a^n}>{b^n}\).

  19. Возведение неравенства в степень при отрицательном показателе Если \(a>b>0\) и \(n<0\), то \({a^n}<{b^n}\).

  20. Извлечение корня из неравенства Если \(a>b>0\) и \(n>0\), то \(\sqrt[\large n\normalsize]{a}>\sqrt[\large n\normalsize]{b}\).

  21. \(a + \large\frac{1}{a}\normalsize \ge 2\;\;\left( {a>0} \right)\) Равенство имеет место лишь при \(a = 1\).

  22. Неравенство Коши (соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим) \(\sqrt {ab} \le \left( {a + b} \right)/2,\text { где }a>0,b>0\). Равенство выполняется лишь при \(a = b\).

  23. Неравенство Коши (случай нескольких переменных) \(\sqrt[n]{{{a_1}{a_2} \cdots {a_n}}} \le \large\frac{{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}}}{n}\normalsize,\text { где }{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}>0\).

  24. Линейное неравенство (случай \(a>0\)) Если \(ax + b>0\) и \(a>0\), то \(x>-b/a\).

  25. Линейное неравенство (случай \(a<0\)) Если \(ax + b>0\) и \(a<0\), то \(x<-b/a\).

  26. Квадратное неравенство \(a{x^2} + bx + c>0\)

    27. \(a>0\)
    \(a<0\)
    \(D>0\)
    парабола с двумя корнями и точкой минимума \(x<{x_1}\), \(x>{x_2}\)
    парабола с двумя корнями и точкой максимума \({x_1}<x<{x_2}\)
    \(D = 0\)
    парабола с одним корнем и точкой минимума \(x<{x_1}\), \(x>{x_1}\)
    парабола с одним корнем и точкой максимума \(x \in \emptyset\)
    \(D<0\)
    парабола с точкой минимума, не имеющая корней \( - \infty <x<\infty \)
    парабола с точкой максимума, не имеющая корней \(x \in \emptyset\)

  27. \(\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\)

  28. Если \(\left| x \right|<a\), то \(-a<x<a\), где \(a>0\).

  29. Если \(\left| x \right|>a\), то \(x<-a\) и \(x>a\), где \(a>0\).

  30. Если \({x^2}<a\), то \(\left| x \right|<\sqrt a \), где \(a>0\).

  31. Если \({x^2}>a\), то \(\left| x \right|>\sqrt a \), где \(a>0\).

  32. \(\large\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\normalsize>0,\;\; \Leftrightarrow \;f\left( x \right)g\left( x \right)>0\;\; \Leftrightarrow \;\begin{cases} {f\left( x \right)}>0 \\ {g\left( x \right)}>0 \end{cases} \;\text { или }\; \begin{cases} {f\left( x \right)}<0 \\ {g\left( x \right)}<0 \end{cases}. \)

  33. \(\large\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\normalsize<0,\;\; \Leftrightarrow \;f\left( x \right)g\left( x \right)<0\;\; \Leftrightarrow \;\begin{cases} {f\left( x \right)}>0 \\ {g\left( x \right)}<0 \end{cases} \;\text { или }\; \begin{cases} {f\left( x \right)}<0 \\ {g\left( x \right)}>0 \end{cases}. \)

  34. \(\large\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\normalsize \ge 0,\;\; \Leftrightarrow \; \begin{cases} {f\left( x \right) g\left( x \right)} \ge 0 \\ {g\left( x \right)} \ne 0 \end{cases} \; \Leftrightarrow \;\begin{cases} {f\left( x \right)} \ge 0 \\ {g\left( x \right)}>0 \end{cases} \;\text { или }\; \begin{cases} {f\left( x \right)} \le 0 \\ {g\left( x \right)}<0 \end{cases}. \)

  35. \(\large\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\normalsize \le 0,\;\; \Leftrightarrow \; \begin{cases} {f\left( x \right) g\left( x \right)} \le 0 \\ {g\left( x \right)} \ne 0 \end{cases} \; \Leftrightarrow \;\begin{cases} {f\left( x \right)} \le 0 \\ {g\left( x \right)}>0 \end{cases} \;\text { или }\; \begin{cases} {f\left( x \right)} \ge 0 \\ {g\left( x \right)}<0 \end{cases}. \)