Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции \(\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}\) не зависит от пути интегрирования, если \(P,\) \(Q\) и \(R\) являются непрерывными функциями в области интегрирования \(D\) и в этой области существует скалярная функция \(u = u\left( {x,y,z} \right),\) такая, что \[ {\mathbf{F} = \text{grad}\,u\;\;\text{или}\;\;\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = P,}\;\; {\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = Q,}\;\; {\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = R.} \] В этом случае криволинейный интеграл второго рода от функции \(\mathbf{F}\) вдоль кривой \(C\) от точки \(A\) до точки \(B\) выражается формулой \[ {\int\limits_C {\mathbf{F}\left( \mathbf{r} \right) \cdot d\mathbf{r}} } = {\int\limits_C {Pdx + Qdy + Rdz} } = {u\left( B \right) - u\left( A \right).} \] (Здесь можно увидеть аналогию с формулой Ньютона-Лейбница для определенных интегралов.) Таким образом, если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то для любого замкнутого контура \(C\) справедливо соотношение \[\oint\limits_C {\mathbf{F}\left( \mathbf{r} \right) \cdot d\mathbf{r} = 0}.\] Векторное поле, обладающее свойством \(\mathbf{F} = \text{grad}\,u,\) называется потенциальным, а функция \(u = u\left( {x,y,z} \right)\) называется потенциалом. Криволинейный интеграл \(II\) рода от функции \(\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}\) не зависит от пути интегрирования, если \[ \text{rot}\,\mathbf{F} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ {\frac{\partial }{{\partial x}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial z}}}\\ P&Q&R \end{array}} \right| = \mathbf{0}. \] Предполагается, что каждый компонент функции \(\mathbf{F}\) имеет непрерывные частные производные по переменным \(x, y\) и \(z.\) Если криволинейный интеграл рассматривается в плоскости \(Oxy,\) то в случае потенциального поля будет справедливо соотношение \[\int\limits_C {Pdx + Qdy} = u\left( B \right) - u\left( A \right).\] В этом случае признак потенциальности векторного поля упрощается и принимает вид \[\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}.\] Рассмотренный признак является необходимым, но, вообще говоря, не достаточным для потенциальности поля. Данное условие достаточно, если только область интегрирования \(D\) односвязна.

Пример 1

Вычислить криволинейный интеграл \(\int\limits_{AB} {\left( {x + y} \right)dx + xdy} \) для двух путей интегрирования:

1. \(AB\) − отрезок прямой от точки \(A\left( {0,0} \right)\) до точки \(B\left( {1,1} \right)\);

2. \(AB\) − участок параболы \(y = {x^2}\) от \(A\left( {0,0} \right)\) до \(B\left( {1,1} \right)\).

Рассмотрим первый случай. Очевидно, уравнение прямой имеет вид \(y = x.\) Тогда, используя формулу \[ {\int\limits_{AB} {P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy} } = {\int\limits_a^b {\left[ {P\left( {x,y} \right) + Q\left( {x,y} \right)\frac{{dy}}{{dx}}} \right]dx} ,} \] получаем \[ {{I_1} = \int\limits_{AB} {\left( {x + y} \right)dx + xdy} } = {\int\limits_0^1 {\left( {x + x + x \cdot 1} \right)dx} } = {\int\limits_0^1 {3xdx} } = {3\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1} \right] } = {\frac{3}{2}.} \] Для случая, когда путь \(AB\) является параболой \(y = {x^2},\) мы имеем \[ {{I_2} = \int\limits_{AB} {\left( {x + y} \right)dx + xdy} } = {\int\limits_0^1 {\left( {x + {x^2} + x \cdot 2x} \right)dx} } = {\int\limits_0^1 {\left( {x + 3{x^2}} \right)dx} } = {\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{3{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 } = {\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2},} \] то есть мы получили тот же самый ответ. Применим признак \(\large\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\normalsize = \large\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\normalsize\) для проверки поля на потенциальность. \[ {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{\partial \left( {x + y} \right)}}{{\partial y}} = \frac{{\partial x}}{{\partial x}},}\;\; {\Rightarrow 1 \equiv 1.} \] Таким образом, векторное поле \(\mathbf{F} = \left( {x + y,x} \right)\) является потенциальным, что и объясняет независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Пример 2

Показать, что криволинейный интеграл \(\int\limits_{AB} {\left( {3{x^2}y + y} \right)dx + \left( {{x^3} + x} \right)dy} ,\) где точки \(A, B\) имеют координаты \(A\left( {1,2} \right),\) \(B\left( {4,5} \right),\) не зависит от пути интегрирования, и найти значение этого интеграла. Поскольку компоненты векторного поля \[P\left( {x,y} \right) = 3{x^2}y + y,\;\;Q\left( {x,y} \right) = {x^3} + x\] и их частные производные \[ {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial \left( {3{x^2}y + y} \right)}}{{\partial y}} = 3{x^2} + 1,}\;\; {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{{\partial \left( {{x^3} + x} \right)}}{{\partial x}} = 3{x^2} + 1 } \] непрерывны и условие потенциальности поля \(\large\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\normalsize = \large\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\normalsize\) выполнено, то данное векторное поле \(\mathbf{F} = \left( {3{x^2}y + y,{x^3} + x} \right)\) потенциально и, следовательно, криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Заметим, что \[ {\left( {3{x^2}y + y} \right)dx + \left( {{x^3} + x} \right)dy } = {\left( {3{x^2}ydx + {x^3}dy} \right) + \left( {ydx + xdy} \right) } = {d\left( {{x^3}y} \right) + d\left( {xy} \right) } = {d\left( {{x^3}y + xy} \right) } = {du,} \] то есть потенциал поля равен \(u = {{x^3}y + xy}.\) Тогда по формуле \[\int\limits_{AB} {Pdx + Qdy} = u\left( B \right) - u\left( A \right)\] находим значение интеграла \[ {I = \int\limits_{AB} {\left( {3{x^2}y + y} \right)dx + \left( {{x^3} + x} \right)dy} } = {u\left( B \right) - u\left( A \right) } = {\left( {{4^3} \cdot 5 + 4 \cdot 5} \right) - \left( {{1^3} \cdot 2 + 1 \cdot 2} \right) = 336.} \]

Пример 3

Определить, является ли векторное поле \(\mathbf{F} = \left( {yz,xz,xy} \right)\) потенциальным? Поскольку \(P = yz, Q = xz\) и \(R = xy,\) то ротор поля равен \[ {\text{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ {\frac{\partial }{{\partial x}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial z}}}\\ {yz}&{xz}&{xy} \end{array}} \right| } = {\left( {\frac{{\partial \left( {xy} \right)}}{{\partial y}} - \frac{{\partial \left( {xz} \right)}}{{\partial z}}} \right)\mathbf{i} } + {\left( {\frac{{\partial \left( {yz} \right)}}{{\partial z}} - \frac{{\partial \left( {xy} \right)}}{{\partial x}}} \right)\mathbf{j} } + {\left( {\frac{{\partial \left( {xz} \right)}}{{\partial x}} - \frac{{\partial \left( {yz} \right)}}{{\partial y}}} \right)\mathbf{k} } = {\left( {x - x} \right)\mathbf{i} + \left( {y - y} \right)\mathbf{j} + \left( {z - z} \right)\mathbf{k} = \mathbf{0}.} \] Следовательно, поле \(\mathbf{F}\) потенциально.

Пример 4

Определить, является ли векторное поле \(\mathbf{F}\left( {x,y} \right) = \left( {x + y,x - y} \right)\) потенциальным? Если да, то найти его потенциал. Компоненты векторного поля равны \(P\left( {x,y} \right) = x + y,\) \(Q\left( {x,y} \right) = x - y.\) Легко видеть, что \[ {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 1,\;\;\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = 1,}\;\; {\Rightarrow \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}.} \] Таким образом, данное поле потенциально. Чтобы найти потенциал, сначала проинтегрируем \(P\left( {x,y} \right) = x + y\) по отношению к \(x.\) \[ {u\left( {x,y} \right) = \int {P\left( {x,y} \right)dx} + C\left( y \right) } = {\int {\left( {x + y} \right)dx} + C\left( y \right) } = {\frac{{{x^2}}}{2} + yx + C\left( y \right).} \] Теперь определим \(C\left( y \right),\) приравнивая производную \(\large\frac{{\partial u}}{{\partial y}}\normalsize\) к \(Q\left( {x,y} \right).\) \[ {\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = \frac{{\partial \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + yx + C\left( y \right)} \right)}}{{\partial y}} } = {x + C'\left( y \right) } = {x - y.} \] Следовательно, \(C'\left( y \right) = - y.\) Тогда \[C\left( y \right) = \int {\left( { - y} \right)dy} = - \frac{{{y^2}}}{2} + {C_1},\] где \({C_1}\) − произвольная постоянная, и потенциал поля имеет вид \[u\left( {x,y} \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + yx - \frac{{{y^2}}}{2} + {C_1}.\]

Пример 5

Определить, является ли потенциальным векторное поле \(\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) = \left( {yz,xz + 2y,xy + 1} \right)?\) Если да, найти его потенциал. В данном случае \(P = yz,\) \(Q = xz + 2y,\) \(R = xy + 1.\) Вычислим ротор заданного поля. \[ {\text{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ {\frac{\partial }{{\partial x}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial z}}}\\ {yz} & {xz + 2y} & {xy + 1} \end{array}} \right| } = {\left( {\frac{{\partial \left( {xy + 1} \right)}}{{\partial y}} - \frac{{\partial \left( {xz + 2y} \right)}}{{\partial z}}} \right)\mathbf{i} } + {\left( {\frac{{\partial \left( {yz} \right)}}{{\partial z}} - \frac{{\partial \left( {xy + 1} \right)}}{{\partial x}}} \right)\mathbf{j} } + {\left( {\frac{{\partial \left( {xz + 2y} \right)}}{{\partial x}} - \frac{{\partial \left( {yz} \right)}}{{\partial y}}} \right)\mathbf{k} } = {\left( {x - x} \right)\mathbf{i} + \left( {y - y} \right)\mathbf{j} + \left( {z - z} \right)\mathbf{k} = \mathbf{0}.} \] Следовательно, поле \(\mathbf{F}\) потенциально. Чтобы найти его потенциал, проинтегрируем \(P\left( {x,y,z} \right)\) по переменной\(x.\) \[ {u\left( {x,y,z} \right) = \int {P\left( {x,y,z} \right)dx} + G\left( {y,z} \right) } = {\int {yzdx} + G\left( {y,z} \right) } = {xyz + G\left( {y,z} \right).} \] В последнем выражении переменные \(y\) и \(z\) рассматривались как константы. Теперь продифференцируем потенциал \(u\) по переменной \(y\) и приравняем \(\large\frac{{\partial u}}{{\partial y}}\normalsize\) к\(Q:\) \[ {\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {xyz + G\left( {y,z} \right)} \right] } = {xz + {G'_y}\left( {y,z} \right) } = {xz + zy.} \] Из последней формулы видно, что \({G'_y}\left( {y,z} \right) = 2y.\) Для определения \(G\left( {y,z} \right)\) проинтегрируем последнее соотношение по \(y\) и добавим как постоянную функцию \(H\left( {z} \right).\) \[ {G\left( {y,z} \right) = \int {{G'_y}\left( {y,z} \right)dy} + H\left( z \right) } = {\int {2ydy} + H\left( z \right) } = {{y^2} + H\left( z \right).} \] Таким образом, потенциал имеет вид \[u\left( {x,y,z} \right) = xyz + {y^2} + H\left( z \right).\] Наконец, \[ {\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = \frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {xyz + {y^2} + H\left( z \right)} \right] } = {xy + H'\left( z \right).} \] Полагая \(\large\frac{{\partial u}}{{\partial z}}\normalsize\) равным \(R = xy + 1,\) находим \[ {xy + H'\left( z \right) = xy + 1,}\;\; {\Rightarrow H'\left( z \right) = 1,}\;\; {\Rightarrow H\left( z \right) = z + {C_0}.} \] Окончательный ответ: \[u\left( {x,y,z} \right) = xyz + {y^2} + z + {C_0},\] где \({C_0}\) − произвольная постоянная.