Линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
Нормальная линейная система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами записывается в виде
\[
{\frac{{d{x_i}}}{{dt}} = {x'_i} = \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}\left( t \right){x_j}\left( t \right)} + {f_i}\left( t \right),}\;\;
{i = 1,2, \ldots ,n,}
\]
где \({{x_i}\left( t \right)}\) − неизвестные функции, которые являются непрерывными и дифференцируемыми
на некотором интервале \(\left[ {a,b} \right].\) Коэффициенты \({{a_{ij}}\left( t \right)}\) и свободные члены \({f_i}\left( t \right)\)
представляют собой непрерывные функции, заданные на интервале \(\left[ {a,b} \right].\)
Используя векторно-матричные обозначения, данную систему уравнений можно записать как
\[{\mathbf{X'}}\left( t \right) = A\left( t \right){\mathbf{X}}\left( t \right) + {\mathbf{f}}\left( t \right),\]
где
\[
{{\mathbf{X}}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( t \right)}\\
{{x_2}\left( t \right)}\\
\vdots \\
{{x_n}\left( t \right)}
\end{array}} \right),}\;\;
{A\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}\left( t \right)}&{{a_{12}}\left( t \right)}& \vdots &{{a_{1n}}\left( t \right)}\\
{{a_{21}}\left( t \right)}&{{a_{22}}\left( t \right)}& \vdots &{{a_{2n}}\left( t \right)}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
{{a_{n1}}\left( t \right)}&{{a_{n2}}\left( t \right)}& \vdots &{{a_{nn}}\left( t \right)}
\end{array}} \right),}\;\;
{{\mathbf{f}}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{f_1}\left( t \right)}\\
{{f_2}\left( t \right)}\\
\vdots \\
{{f_n}\left( t \right)}
\end{array}} \right).}
\]
В общем случае матрица \(A\left( t \right)\) и вектор-функции \({\mathbf{X}}\left( t \right),\) \({\mathbf{f}}\left( t \right)\)
могут принимать как действительные, так и комплексные значения.
Соответствующая однородная система с переменными коэффициентами в векторной форме имеет вид
\[{\mathbf{X'}}\left( t \right) = A\left( t \right){\mathbf{X}}\left( t \right).\]
Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица
Вектор-функции \({\mathbf{x}_1}\left( t \right),{\mathbf{x}_2}\left( t \right), \ldots ,{\mathbf{x}_n}\left( t \right)\) являются линейно зависимыми
на интервале \(\left[ {a,b} \right],\) если найдутся такие числа \({c_1},{c_2}, \ldots ,{c_n},\) одновременно не равные нулю, что выполняется тождество
\[
{{c_1}{\mathbf{x}_1}\left( t \right) + {c_2}{\mathbf{x}_2}\left( t \right) + \cdots + {c_n}{\mathbf{x}_n}\left( t \right) \equiv 0,}\;\;
{\forall t \in \left[ {a,b} \right].}
\]
Если указанное тождество выполняется лишь при условии
\[{c_1} = {c_2} = \cdots = {c_n} = 0,\]
то вектор-функции \({\mathbf{x}_i}\left( t \right)\) называются линейно независимыми на заданном интервале.
Любая система \(n\) линейно независимых решений \({\mathbf{x}_1}\left( t \right),{\mathbf{x}_2}\left( t \right), \ldots ,{\mathbf{x}_n}\left( t \right)\)
называется фундаментальной системой решений.
Квадратная матрица \(\Phi\left( t \right),\) столбцы которой образованы линейно независимыми решениями
\({\mathbf{x}_1}\left( t \right),{\mathbf{x}_2}\left( t \right), \ldots ,{\mathbf{x}_n}\left( t \right),\) называется
фундаментальной матрицей системы уравнений. Она имеет следующий вид:
\[\Phi \left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{11}}\left( t \right)}&{{x_{12}}\left( t \right)}& \vdots &{{x_{1n}}\left( t \right)}\\
{{x_{21}}\left( t \right)}&{{x_{22}}\left( t \right)}& \vdots &{{x_{2n}}\left( t \right)}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
{{x_{n1}}\left( t \right)}&{{x_{n2}}\left( t \right)}& \vdots &{{x_{nn}}\left( t \right)}
\end{array}} \right),\]
где \({{x_{ij}}\left( t \right)}\) − координаты линейно независимых векторных решений
\({\mathbf{x}_1}\left( t \right),{\mathbf{x}_2}\left( t \right), \ldots ,{\mathbf{x}_n}\left( t \right).\)
Заметим, что фундаментальная матрица \(\Phi \left( t \right)\) является невырожденной, т.е. для нее всегда существует обратная матрица
\({\Phi ^{ - 1}}\left( t \right).\) Поскольку фундаментальная матрица содержит \(n\) линейно независимых решений, то при ее подстановке
в однородную систему уравнений получаем тождество
\[\Phi '\left( t \right) \equiv A\left( t \right)\Phi \left( t \right).\]
Умножим это уравнение справа на обратную функцию \({\Phi ^{ - 1}}\left( t \right):\)
\[
{\Phi '\left( t \right){\Phi ^{ - 1}}\left( t \right) \equiv A\left( t \right)\Phi \left( t \right){\Phi ^{ - 1}}\left( t \right),}\;\;
{\Rightarrow A\left( t \right) \equiv \Phi '\left( t \right){\Phi ^{ - 1}}\left( t \right).}
\]
Полученное соотношение однозначно определяет однородную систему уравнений, если задана фундаментальная матрица.
Общее решение однородной системы выражается через фундаментальную матрицу в виде
\[{\mathbf{X}_0}\left( t \right) = \Phi \left( t \right)\mathbf{C},\]
где \(\mathbf{C}\) − \(n\)-мерный вектор, состоящий из произвольных чисел.
Упомянем один интересный частный случай однородных систем. Оказывается, если произведение матрицы \(A\left( t \right)\) и интеграла от этой матрицы
коммутативно, т.е.
\[A\left( t \right) \cdot \int\limits_a^t {A\left( \tau \right)dt} = \int\limits_a^t {A\left( \tau \right)dt} \cdot A\left( t \right),\]
то фундаментальная матрица \(\Phi\left( t \right)\) для данной системы уравнений имеет вид
\[\Phi \left( t \right) = {e^{\,\int\limits_a^t {A\left( \tau \right)d\tau } }}.\]
Такое свойство выполняется в случае симметрических матриц и, в частности, в случае
диагональных матриц.
Определитель Вронского и формула Лиувилля-Остроградского
Определитель фундаментальной матрицы \(\Phi\left( t \right)\) называется определителем Вронского или
вронскианом системы решений
\({\mathbf{x}_1}\left( t \right),{\mathbf{x}_2}\left( t \right), \ldots ,{\mathbf{x}_n}\left( t \right):\)
\[
{W\left( t \right) = W\left[ {{\mathbf{x}_1},{\mathbf{x}_2}, \ldots ,{\mathbf{x}_n}} \right] }
= {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{11}}\left( t \right)}&{{x_{12}}\left( t \right)}& \vdots &{{x_{1n}}\left( t \right)}\\
{{x_{21}}\left( t \right)}&{{x_{22}}\left( t \right)}& \vdots &{{x_{2n}}\left( t \right)}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
{{x_{n1}}\left( t \right)}&{{x_{n2}}\left( t \right)}& \vdots &{{x_{nn}}\left( t \right)}
\end{array}} \right|.}
\]
Определитель Вронского удобно использовать для проверки линейной независимости решений. Справедливы следующие правила:
Решения \({\mathbf{x}_1}\left( t \right),{\mathbf{x}_2}\left( t \right), \ldots ,{\mathbf{x}_n}\left( t \right)\) однородной системы уравнений являются фундаментальной системой тогда и только тогда, когда соответствующий вронскиан отличен от нуля в какой-нибудь точке \(t\) интервала \(\left[ {a,b} \right].\)
Решения \({\mathbf{x}_1}\left( t \right),{\mathbf{x}_2}\left( t \right), \ldots ,{\mathbf{x}_n}\left( t \right)\) являются линейно зависимыми на интервале \(\left[ {a,b} \right]\) тогда и только тогда, когда вронскиан тождественно равен нулю на этом интервале.
Метод вариации постоянных (метод Лагранжа)
Перейдем к рассмотрению неоднородных систем, которые в векторно-матричной форме записываются в виде
\[\mathbf{X'}\left( t \right) = A\left( t \right)\mathbf{X}\left( t \right) + \mathbf{f}\left( t \right).\]
Общее решение такой системы представляется в виде суммы общего решения \({\mathbf{X}_0}\left( t \right)\)
соответствующей однородной системы и частного решения \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) неоднородной системы, т.е.
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = {\mathbf{X}_0}\left( t \right) + {\mathbf{X}_1}\left( t \right) }
= {\Phi \left( t \right)\mathbf{C} + {\mathbf{X}_1}\left( t \right),}
\]
где \(\Phi \left( t \right)\) − фундаментальная матрица, \(\mathbf{C}\) − произвольный числовой вектор.
Наиболее общим методом решения неоднородных систем является метод вариации постоянных (метод Лагранжа).
При использовании этого метода вместо постоянного вектора \(\mathbf{C}\) мы рассматриваем вектор \(\mathbf{C}\left( t \right),\) компоненты которого являются непрерывно
дифференцируемыми функциями независимой переменной \(t,\) т.е. полагаем
\[\mathbf{X}\left( t \right) = \Phi \left( t \right)\mathbf{C}\left( t \right).\]
Подставляя это выражение в неоднородную систему, находим неизвестный вектор \(\mathbf{C}\left( t \right):\)
\[\require{cancel}
{\mathbf{X'}\left( t \right) = A\left( t \right)\mathbf{X}\left( t \right) + \mathbf{f}\left( t \right),}\;\;
{\Rightarrow \cancel{\Phi '\left( t \right)\mathbf{C}\left( t \right)} + \Phi \left( t \right)\mathbf{C'}\left( t \right) }
= {\cancel{A\left( t \right)\Phi \left( t \right)\mathbf{C}\left( t \right)} + \mathbf{f}\left( t \right),}\;\;
{\Rightarrow \Phi \left( t \right)\mathbf{C'}\left( t \right) = \mathbf{f}\left( t \right).}
\]
Учитывая, что матрица \(\Phi \left( t \right)\) невырожденная, умножим последнее уравнение слева на \({\Phi ^{ - 1}}\left( t \right):\)
\[
{{\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\Phi \left( t \right)\mathbf{C'}\left( t \right) = {\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\mathbf{f}\left( t \right),}\;\;
{\Rightarrow \mathbf{C'}\left( t \right) = {\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\mathbf{f}\left( t \right).}
\]
После интегрирования получаем вектор \(\mathbf{C}\left( t \right).\)
Пример 1
Составить линейную систему уравнений, имеющей решения
\[
{{\mathbf{x}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
t
\end{array}} \right),}\;\;
{{\mathbf{x}_2}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
t\\
{{t^2}}
\end{array}} \right),}\;\;
{t \ne 0.}
\]
Решение.
В задаче задана фундаментальная матрица системы:
\[\Phi \left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&t\\
t&{{t^2}}
\end{array}} \right).\]
Вычислим обратную матрицу \({\Phi ^{ - 1}}\left( t \right):\)
\[
{\Delta \left( \Phi \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&t\\
t&{{t^2}}
\end{array}} \right| = 2{t^2} - {t^2} = {t^2},}\;\;
{\Rightarrow {\Phi ^{ - 1}}\left( t \right) = \frac{1}{{\Delta \left( \Phi \right)}}C_{ij}^T }
= {\frac{1}{{{t^2}}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{t^2}}&{ - t}\\
{ - t}&2
\end{array}} \right)^T} }
= {\frac{1}{{{t^2}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{t^2}}&{ - t}\\
{ - t}&2
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - \frac{1}{t}}\\
{ - \frac{1}{t}}&{\frac{2}{{{t^2}}}}
\end{array}} \right).}
\]
Здесь через \({C_{ij}}\) обозначена матрица алгебраических дополнений к элементам фундаментальной матрицы\(\Phi \left( t \right).\)
Матрица коэффициентов системы уравнений находится по формуле
\[A\left( t \right) = \Phi '\left( t \right){\Phi ^{ - 1}}\left( t \right).\]
Производная фундаментальной матрицы (она вычисляется поэлементно) равна
\[{\Phi'}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
1&{{2t}}
\end{array}} \right).\]
Отсюда получаем
\[
{A\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
1&{2t}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - \frac{1}{t}}\\
{ - \frac{1}{t}}&{\frac{2}{{{t^2}}}}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0 - \frac{1}{t}}&{0 + \frac{2}{{{t^2}}}}\\
{1 - 2}&{ - \frac{1}{t} + \frac{4}{t}}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - \frac{1}{t}}&{\frac{2}{{{t^2}}}}\\
{ - 1}&{\frac{3}{t}}
\end{array}} \right).}
\]
Следовательно, система уравнений, решения которой равны \({\mathbf{x}_1}\left( t \right),\) \({\mathbf{x}_2}\left( t \right),\)
записывается в виде
\[
{\frac{{dx}}{{dt}} = - \frac{x}{t} + \frac{{2y}}{{{t^2}}},}\;\;
{\frac{{dy}}{{dt}} = - x + \frac{{3y}}{t}.}
\]
Пример 2
Найти фундаментальную матрицу системы дифференциальных уравнений
\[\frac{{dx}}{{dt}} = x + ty,\;\;\frac{{dy}}{{dt}} = tx + y.\]
убедившись в том, что матрица коэффициентов \(A\left( t \right)\) перестановочна со своим интегралом.
Решение.
Проверим сначала, что перемножение матрицы \(A\left( t \right)\) со своим интегралом коммутативно. Исходная матрица имеет вид:
\[A\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&t\\
t&1
\end{array}} \right).\]
Интеграл от матрицы \(A\left( t \right)\) находится поэлементным интегрированием. Для простоты преобразований примем нижний предел интегрирования
равным нулю. Тогда
\[\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
t&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\
{\frac{{{t^2}}}{2}}&t
\end{array}} \right).\]
В результате получаем
\[
{A\left( t \right) \cdot \int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&t\\
t&1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
t&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\
{\frac{{{t^2}}}{2}}&t
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{t + \frac{{{t^3}}}{2}}&{\frac{{{t^2}}}{2} + {t^2}}\\
{{t^2} + \frac{{{t^2}}}{2}}&{\frac{{{t^3}}}{2} + t}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{t + \frac{{{t^3}}}{2}}&{\frac{{3{t^2}}}{2}}\\
{\frac{{3{t^2}}}{2}}&{t + \frac{{{t^3}}}{2}}
\end{array}} \right),}
\]
\[
{\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } \cdot A\left( t \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
t&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\
{\frac{{{t^2}}}{2}}&t
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&t\\
t&1
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{t + \frac{{{t^3}}}{2}}&{{t^2} + \frac{{{t^2}}}{2}}\\
{\frac{{{t^2}}}{2} + {t^2}}&{\frac{{{t^3}}}{2} + t}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{t + \frac{{{t^3}}}{2}}&{\frac{{3{t^2}}}{2}}\\
{\frac{{3{t^2}}}{2}}&{t + \frac{{{t^3}}}{2}}
\end{array}} \right).}
\]
Итак, свойство коммутативности произведения матриц соблюдается. Поэтому фундаментальная матрица выражается формулой
\[
{\Phi \left( t \right) = {e^{\,\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } }} }
= {{e^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
t&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\
{\frac{{{t^2}}}{2}}&t
\end{array}} \right)}}.}
\]
Вычислим матричную экспоненту, преобразовав матрицу к диагональному виду. В данном случае собственные значения зависят
от переменной \(t\) и выражаются в следующем виде:
\[
{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{t - \lambda }&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\
{\frac{{{t^2}}}{2}}&{t - \lambda }
\end{array}} \right| = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\left( {t - \lambda } \right)^2} - {\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right)^2} = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left| {\lambda - t} \right| = \pm \frac{{{t^2}}}{2},}\;\;
{\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = t \pm \frac{{{t^2}}}{2}.}
\]
Для каждого собственного значения найдем соответствующий собственный вектор. Для \({\lambda _1}\) получаем:
\[
{{\lambda _1} = t + \frac{{{t^2}}}{2},}\;\;
{\Rightarrow \left( {A - {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{t - \left( {t + \frac{{{t^2}}}{2}} \right)}&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\
{\frac{{{t^2}}}{2}}&{t - \left( {t + \frac{{{t^2}}}{2}} \right)}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow - \frac{{{t^2}}}{2}{V_{11}} + \frac{{{t^2}}}{2}{V_{21}} = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Аналогично находим собственный вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T}\)
для собственного числа \({\lambda _2}:\)
\[
{{\lambda _2} = t - \frac{{{t^2}}}{2},}\;\;
{\Rightarrow \left( {A - {\lambda _2}I} \right){\mathbf{V}_2} = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{t - \left( {t - \frac{{{t^2}}}{2}} \right)}&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\
{\frac{{{t^2}}}{2}}&{t - \left( {t - \frac{{{t^2}}}{2}} \right)}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \frac{{{t^2}}}{2}{V_{12}} + \frac{{{t^2}}}{2}{V_{22}} = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{-1}\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Тогда матрица перехода к диагональной (точнее к жордановой) форме имеет вид:
\[H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right).\]
Вычислим обратную матрицу \({H^{ - 1}}:\)
\[
\Delta \left( H \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{r}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right| = 1 + 1 = 2,\;\;
\Rightarrow {H^{ - 1}} = \frac{1}{{\Delta \left( H \right)}}H_{ij}^T
= \frac{1}{2}{\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right)^T}
= \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right).
\]
Следовательно, жорданова форма \(J\) будет выглядеть следующим образом:
\[
{J = {H^{ - 1}}\left( {\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } } \right)H }
= {\frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
t&{\frac{{{t^2}}}{2}}\\
{\frac{{{t^2}}}{2}}&t
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right) }
= {\frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{t + \frac{{{t^2}}}{2}}&{\frac{{{t^2}}}{2} + t}\\
{ - t + \frac{{{t^2}}}{2}}&{ - \frac{{{t^2}}}{2} + t}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right) }
= {\frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{t + \frac{{{t^2}}}{2} + \frac{{{t^2}}}{2} + t}&{ - \cancel{t} - \cancel{\frac{{{t^2}}}{2}} + \cancel{\frac{{{t^2}}}{2}} + \cancel{t}}\\
{ - \cancel{t} + \cancel{\frac{{{t^2}}}{2}} - \cancel{\frac{{{t^2}}}{2}} + \cancel{t}}&{t - \frac{{{t^2}}}{2} - \frac{{{t^2}}}{2} + t}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{t + \frac{{{t^2}}}{2}}&0\\
0&\color{red}{t - \frac{{{t^2}}}{2}}
\end{array}} \right).}
\]
Экспонента от матрицы \(J\) равна
\[
{{e^J} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{t + \frac{{{t^2}}}{2}}}}&0\\
0&{{e^{t - \frac{{{t^2}}}{2}}}}
\end{array}} \right) }
= {{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}}}&0\\
0&{{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}
\end{array}} \right).}
\]
Теперь можно вычислить фундаментальную матрицу \(\Phi \left( t \right):\)
\[
{\Phi \left( t \right) = {e^{\,\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } }} = H{e^J}{H^{ - 1}} }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right) \cdot {e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}}}&0\\
0&{{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}
\end{array}} \right) \cdot \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right) }
= {\frac{{{e^t}}}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}} + 0}&{0 - {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}\\
{{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}} + 0}&{0 + {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right) }
= {\frac{{{e^t}}}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}}}&{ - {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}\\
{{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}}}&{{e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right) }
= {\frac{{{e^t}}}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}} + {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}&{{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}} - {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}\\
{{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}} - {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}&{{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}} + {e^{ - \frac{{{t^2}}}{2}}}}
\end{array}} \right) }
= {{e^t}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cosh \frac{{{t^2}}}{2}}&{\sinh\frac{{{t^2}}}{2}}\\
{\sinh\frac{{{t^2}}}{2}}&{\cosh \frac{{{t^2}}}{2}}
\end{array}} \right).}
\]
Пример 3
Найти общее решение системы
\[
{\frac{{dx}}{{dt}} = - tx + y,}\;\;
{\frac{{dy}}{{dt}} = \left( {1 - {t^2}} \right)x + ty,}\;\;
{x>0,}
\]
если известно одно решение:
\[{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( t \right)}\\
{{y_1}\left( t \right)}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
t
\end{array}} \right).\]
Решение.
Пусть второе линейно независимое решение выражается векторной функцией
\[{\mathbf{X}_2}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_2}\left( t \right)}\\
{{y_2}\left( t \right)}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
u\\
v
\end{array}} \right)\]
с начальным условием \(u\left( {t = 0} \right) = 0, v\left( {t = 0} \right) = 1.\)
Воспользуемся формулой Лиувилля-Остроградского, которая записывается в виде:
\[
{W\left( t \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&u\\
t&v
\end{array}} \right| }
= {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
t&1
\end{array}} \right|{e^{\,\int\limits_0^t {\left( {A\left( \tau \right)} \right)d\tau } }} }
= {1 \cdot {e^{\,\int\limits_0^t {\left( { - \tau + \tau } \right)d\tau } }} }
= {{e^{\,\int\limits_0^t {0d\tau } }} }
= {{e^0} = 1.}
\]
Отсюда получаем соотношение между неизвестными функциями \(u\) и \(v:\)
\[v - tu = 1.\]
Рассмотрим второе уравнение исходной системы. Подставляя в него решение \({\mathbf{X}_2}\left( t \right),\) запишем его в виде
\[\frac{{dv}}{{dt}} = \left( {1 - {t^2}} \right)u + tv.\]
Из предыдущего уравнения можно выразить слагаемое \(tv:\)
\[
{v - tu = 1,\;\; \Rightarrow tv - {t^2}u = t,}\;\;
{\Rightarrow tv = {t^2}u + t.}
\]
Подставим его в дифференциальное уравнение для функции \(v\left( t \right):\)
\[
{\frac{{dv}}{{dt}} = \left( {1 - {t^2}} \right)u + tv,}\;\;
{\Rightarrow \frac{{dv}}{{dt}} = \left( {1 - {t^2}} \right)u + {t^2}u + t,}\;\;
{\Rightarrow \frac{{dv}}{{dt}} = u - \cancel{{t^2}u} + \cancel{{t^2}u} + t,}\;\;
{\Rightarrow \frac{{dv}}{{dt}} = u + t,}\;\;
{\Rightarrow t\frac{{dv}}{{dt}} = tu + {t^2}.}
\]
Учитывая, что \(tu = v - 1,\) получаем линейное
линейное дифференциальное уравнение \(1\)-го порядка
для функции \(v\left( t \right):\)
\[
{t\frac{{dv}}{{dt}} = v - 1 + {t^2}\;\;\text{или}}\;\;
{t\frac{{dv}}{{dt}} = v + {t^2} - 1.}
\]
Найдем сначала решение соответствующего однородного уравнения.
\[
{t\frac{{dv}}{{dt}} = v,\;\; \Rightarrow \frac{{dv}}{v} = \frac{{dt}}{t},}\;\;
{\Rightarrow \int {\frac{{dv}}{v}} = \int {\frac{{dt}}{t}} ,}\;\;
{\Rightarrow \ln \left| v \right| = \ln \left| t \right| + \ln C,}\;\;
{\Rightarrow {v_0}\left( t \right) = Ct,}
\]
где \(C\) − произвольное число.
Теперь определим решение неоднородного уравнения, используя метод вариации постоянных:
\[
{v\left( t \right) = C\left( t \right)t,}\;\;
{\Rightarrow \frac{{dv\left( t \right)}}{{dt}} = \frac{{dC\left( t \right)}}{{dt}}t + C\left( t \right).}
\]
После подстановки получаем выражение для производной \(\large\frac{{dC}}{{dt}}\normalsize:\)
\[
{t\left( {t\frac{{dC}}{{dt}} + C} \right) = Ct + {t^2} - 1,}\;\;
{\Rightarrow {t^2}\frac{{dC}}{{dt}} + \cancel{Ct} = \cancel{Ct} + {t^2} - 1,}\;\;
{\Rightarrow \frac{{dC}}{{dt}} = \frac{{{t^2} - 1}}{{{t^2}}} = 1 - \frac{1}{{{t^2}}}.}
\]
Интегрируя, находим функцию \(C\left( t \right):\)
\[C\left( t \right) = \int {\left( {1 - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt} = t + \frac{1}{t}.\]
Тогда функция \(v\left( t \right)\) будет выражаться формулой
\[v\left( t \right) = C\left( t \right)t = {t^2} + 1.\]
Далее легко найти и функцию \(u\left( t \right):\)
\[
{v - tu = 1,\;\; \Rightarrow tu = v - 1,}\;\;
{\Rightarrow tu = {t^2} + \cancel{1} - \cancel{1},}\;\;
{\Rightarrow u\left( t \right) = t.}
\]
Итак, второе решение системы уравнений имеет вид:
\[
{{\mathbf{X}_2}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_2}\left( t \right)}\\
{{y_2}\left( t \right)}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
u\\
v
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
t\\
{{t^2} + 1}
\end{array}} \right).}
\]
Общее решение системы записывается как
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = {C_1}{\mathbf{X}_1}\left( t \right) + {C_2}{\mathbf{X}_2}\left( t \right) }
= {{C_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
t
\end{array}} \right) + {C_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
t\\
{{t^2} + 1}
\end{array}} \right),}
\]
где \({C_1},{C_2}\) − произвольные постоянные.
Пример 4
Найти общее решение линейной неоднородной системы уравнений
\[
{\frac{{dx}}{{dt}} = \cos t \cdot x + y + {e^{2\sin t}},}\;\;
{\frac{{dy}}{{dt}} = x + \cos t \cdot y + t{e^{2\sin t}}.}
\]
Решение.
Сначала построим общее решение однородной системы
\[
{\frac{{dx}}{{dt}} = \cos t \cdot x + y ,}\;\;
{\frac{{dy}}{{dt}} = x + \cos t \cdot y .}
\]
Заметим, что матрица системы \(A\left( t \right)\) симметрична. Проверим коммутативность произведения матрицы
\(A\left( t \right)\) и интеграла от нее (интегрирование выполняется поэлементно).
\[
{A\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos t}&1\\
1&{\cos t}
\end{array}} \right),}\;\;
{\Rightarrow \int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin t}&t\\
t&{\sin t}
\end{array}} \right);}
\]
\[
{A\left( t \right) \cdot \int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos t}&1\\
1&{\cos t}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin t}&t\\
t&{\sin t}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos t\sin t + t}&{t\cos t + \sin t}\\
{\sin t + t\cos t}&{t + \cos t\sin t}
\end{array}} \right);}
\]
\[
{\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } \cdot A\left( t \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin t}&t\\
t&{\sin t}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos t}&1\\
1&{\cos t}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos t\sin t + t}&{\sin t + t\cos t}\\
{t\cos t + \sin t}&{t + \cos t\sin t}
\end{array}} \right).}
\]
Как видно, перемножение указанных матриц коммутативно. Поэтому фундаментальная матрица системы описывается формулой
\[
{\Phi \left( t \right) = {e^{\,\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } }} }
= {{e^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin t}&t\\
t&{\sin t}
\end{array}} \right)}}.}
\]
Теперь выполним необходимые преобразования с матричной экспонентой, чтобы записать общее решение однородной системы.
Определим собственные значения:
\[
{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin t - \lambda }&t\\
t&{\sin t - \lambda }
\end{array}} \right| = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\left( {\sin t - \lambda } \right)^2} - {t^2} = 0,}\;\;
{\Rightarrow \left| {\lambda - \sin t} \right| = \left| t \right|,}\;\;
{\Rightarrow {\lambda _{1,2}} = \sin t \pm t.}
\]
Для каждого собственного значения \({\lambda _1},\) \({\lambda _2}\) определим собственные векторы. Для числа \({\lambda _1}\) получаем:
\[
{{\lambda _1} = \sin t + t,}\;\;
{\Rightarrow \left[ {A\left( t \right) - {\lambda _1}\left( t \right)I} \right]{\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin t - \left( {\sin t + t} \right)}&t\\
t&{\sin t - \left( {\sin t + t} \right)}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{ - t}&t\\
t&{ - t}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow - t{V_{11}} + t{V_{21}} = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\mathbf{V}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{11}}}\\
{{V_{21}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Аналогичным образом находим собственный вектор \({\mathbf{V}_2} = {\left( {{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T}\) для числа \({\lambda _2}:\)
\[
{{\lambda _2} = \sin t - t,}\;\;
{\Rightarrow \left[ {A\left( t \right) - {\lambda _2}\left( t \right)I} \right]{\mathbf{V}_2} = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin t - \left( {\sin t - t} \right)}&t\\
t&{\sin t - \left( {\sin t - t} \right)}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{t}&t\\
t&{t}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}
\end{array}} \right) = \mathbf{0},}\;\;
{\Rightarrow t{V_{12}} + t{V_{22}} = 0,}\;\;
{\Rightarrow {\mathbf{V}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{V_{12}}}\\
{{V_{22}}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{-1}\\
1
\end{array}} \right).}
\]
Следовательно, матрица перехода от исходной матрицы \(A\left( t \right)\) к жордановой форме \(J\) имеет вид:
\[H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right).\]
Вычислим обратную матрицу \({H^{ - 1}}:\)
\[
{\Delta \left( H \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{r}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right| = 1 + 1 = 2,}\;\;
{\Rightarrow {H^{ - 1}} = \frac{1}{{\Delta \left( H \right)}}H_{ij}^T
= \frac{1}{2}{\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right)^T} }
= {\frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right).}
\]
Убедимся, что жорданова форма \(J\) для матрицы \(A\left( t \right)\) является диагональной с собственными значениями
\({\lambda _1},\) \({\lambda _2}\) на диагонали:
\[
J = {H^{ - 1}}\left( {\int\limits_0^t {A\left( \tau \right)d\tau } } \right)H
= \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin t}&t\\
t&{\sin t}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right)
= \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin t + t}&{t + \sin t}\\
{ - \sin t + t}&{ - t + \sin t}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right)
= \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin t + t + t + \sin t}&{ - \cancel{\sin t} - \cancel{t} + \cancel{t} + \cancel{\sin t}}\\
{ - \cancel{\sin t} + \cancel{t} - \cancel{t} + \cancel{\sin t}}&{\sin t - t - t + \sin t}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\color{blue}{\sin t + t}&0\\
0&\color{red}{\sin t - t}
\end{array}} \right).
\]
Матричная экспонента для найденной матрицы \(J\) равна
\[
{{e^J} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{\sin t + t}}}&0\\
0&{{e^{\sin t - t}}}
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{\sin t}}{e^t}}&0\\
0&{{e^{\sin t}}{e^{ - t}}}
\end{array}} \right) }
= {{e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^t}}&0\\
0&{{e^{ - t}}}
\end{array}} \right).}
\]
Тогда фундаментальная матрица \(\Phi \left( t \right)\) принимает следующий вид:
\[
{\Phi \left( t \right) = {e^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin t}&t\\
t&{\sin t}
\end{array}} \right)}} }
= {H{e^J}{H^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right) \cdot {e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^t}}&0\\
0&{{e^{ - t}}}
\end{array}} \right) \cdot \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right) }
= {\frac{{{e^{\sin t}}}}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^t}}&{ - {e^{ - t}}}\\
{{e^t}}&{{e^{ - t}}}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right) }
= {\frac{{{e^{\sin t}}}}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^t} + {e^{ - t}}}&{{e^t} - {e^{ - t}}}\\
{{e^t} - {e^{ - t}}}&{{e^t} + {e^{ - t}}}
\end{array}} \right) }
= {{e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cosh t}&{\sinh t}\\
{\sinh t}&{\cosh t}
\end{array}} \right).}
\]
Таким образом, общее решение однородной системы выражается формулой
\[
{{\mathbf{X}_0}\left( t \right) = \Phi \left( t \right)\mathbf{C} }
= {{e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cosh t}&{\sinh t}\\
{\sinh t}&{\cosh t}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{C_1}}\\
{{C_2}}
\end{array}} \right).}
\]
Теперь определим частное решение \({\mathbf{X}_1}\left( t \right)\) неоднородной системы.
В соответствии с методом вариации постоянных заменим постоянный вектор
\(\mathbf{C}\) на векторную функцию \(\mathbf{C}\left( t \right).\) Производная этой векторной функции определяется соотношением
\[
{\mathbf{C'}\left( t \right) = {\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\mathbf{f}\left( t \right),}\;\;
{\text{где}\;\;\mathbf{f}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{2\sin t}}}\\
{t{e^{2\sin t}}}
\end{array}} \right).}
\]
Вычислим обратную матрицу \({\Phi ^{ - 1}}\left( t \right),\) входящую в эту формулу.
\[
{\Delta \left( \Phi \right) = {e^{2\sin t}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cosh t}&{\sinh t}\\
{\sinh t}&{\cosh t}
\end{array}} \right| }
= {{e^{2\sin t}}\left( {{{\cosh }^2}t - {{\sinh }^2}t} \right) }
= {{e^{2\sin t}},}\;\;
{\Rightarrow {\Phi ^{ - 1}} = \frac{1}{{{e^{2\sin t}}}}{\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{\cosh t}&{ - \sinh t}\\
{ - \sinh t}&{\cosh t}
\end{array}} \right)^T} }
= {{e^{ - 2\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{\cosh t}&{ - \sinh t}\\
{ - \sinh t}&{\cosh t}
\end{array}} \right).}
\]
В результате получаем следующее выражение для производной \(\mathbf{C'}\left( t \right):\)
\[
{\mathbf{C'}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{C_1}\left( t \right)}\\
{{C_2}\left( t \right)}
\end{array}} \right) }
= {{\Phi ^{ - 1}}\left( t \right)\mathbf{f}\left( t \right) }
= {{e^{ - 2\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{\cosh t}&{ - \sinh t}\\
{ - \sinh t}&{\cosh t}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{2\sin t}}}\\
{t{e^{2\sin t}}}
\end{array}} \right) }
= {\cancel{e^{ - 2\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{r}}
{\cosh t}&{ - \sinh t}\\
{ - \sinh t}&{\cosh t}
\end{array}} \right) \cdot \cancel{e^{2\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
t
\end{array}} \right) }
= {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cosh t - t\sinh t}\\
{ - \sinh t + t\cosh t}
\end{array}} \right).}
\]
Проинтегрируем это выражение:
\[
{{C_1}\left( t \right) = \int {\left( {\cosh t - t\sinh t} \right)dt} }
= {\int {\cosh tdt} - \int {t\cosh tdt} }
= {\sinh t - \int {t\sinh tdt} .}
\]
Последний интеграл вычисляется по частям:
\[
{\int {t\sinh tdt} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = t}\\
{v' = \sinh t}\\
{u' = 1}\\
{v = \cosh t}
\end{array}} \right] }
= {t\cosh t - \int {\cosh tdt} }
= {t\cosh t - \sinh t.}
\]
Следовательно,
\[
{{C_1}\left( t \right) = \sinh t - \left( {t\cosh t - \sinh t} \right) + {A_1} }
= {2\sinh t - t\cosh t + {A_1},}
\]
где \({A_1}\) − произвольная постоянная.
Аналогично находим функцию \({C_2}\left( t \right):\)
\[
{{C_2}\left( t \right) = \int {\left( { - \sinh t + t\cosh t} \right)dt} }
= { - \int {\sinh tdt} + \int {t\cosh tdt} }
= { - \cosh t + \left( {t\sinh t - \int {\sinh tdt} } \right) }
= { - \cosh t + t\sinh t - \cosh t + {A_2} }
= { - 2\cosh t + t\sinh t + {A_2}.}
\]
Итак, общее решение исходной неоднородной системы записывается в виде:
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = \Phi \left( t \right)\mathbf{C}\left( t \right) }
= {{e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cosh t}&{\sinh t}\\
{\sinh t}&{\cosh t}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2\sinh t + t\cosh t + {A_1}}\\
{ - 2\cosh t + t\sinh t + {A_2}}
\end{array}} \right) }
= {{e^{\sin t}}\left\{ {\left( {{A_1} + 2\sinh t + t\cosh t} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cosh t}\\
{\sinh t}
\end{array}} \right)} \right. }
+ {\left. {\left( {{A_2} - 2\cosh t + t\sinh t} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sinh t}\\
{\cosh t}
\end{array}} \right)} \right\} }
= {\underbrace {{e^{\sin t}}\left[ {{A_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cosh t}\\
{\sinh t}
\end{array}} \right) + {A_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sinh t}\\
{\cosh t}
\end{array}} \right)} \right]}_{{\mathbf{X}_0}\left( t \right)} }
+ {\underbrace {{e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cancel{2\sinh t\cosh t} - t\,{{\cosh }^2}t - \cancel{2\cosh t\sinh t} + t\,{{\sinh }^2}t}\\
{2\,{{\sinh }^2}t - \cancel{t\sinh t\cosh t} - 2\,{{\cosh }^2}t + \cancel{t\sinh t\cosh t}}
\end{array}} \right)}_{{\mathbf{X}_1}\left( t \right)}
= {\mathbf{X}_0}\left( t \right) + {\mathbf{X}_1}\left( t \right).}
\]
Здесь компонент \({\mathbf{X}_1}\left( t \right),\) соответствующий неоднородной части системы, допускает
более простую запись:
\[
{{\mathbf{X}_1}\left( t \right) = {e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - t\left( {{{\cosh }^2}t - {{\sinh }^2}t} \right)}\\
{ - 2\left( {{{\cosh }^2}t - {{\sinh }^2}t} \right)}
\end{array}} \right) }
= { - {e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
t\\
2
\end{array}} \right).}
\]
Таким образом, окончательный ответ выглядит так:
\[
{\mathbf{X}\left( t \right) = {\mathbf{X}_0}\left( t \right) + {\mathbf{X}_1}\left( t \right) }
= {{e^{\sin t}}\left[ {{A_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cosh t}\\
{\sinh t}
\end{array}} \right) + {A_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sinh t}\\
{\cosh t}
\end{array}} \right)} \right] }
- {{e^{\sin t}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
t\\
2
\end{array}} \right).}
\]