Криволинейные интегралы первого рода

									Криволинейные интегралы первого рода
								

										Определение
									

									Пусть кривая CCC описывается векторной функцией r=r(s),\mathbf{r} = \mathbf{r}\left( s \right),r=r(s),0≤s≤S,0 \le s \le S,0≤s≤S,
									где переменная sss представляет собой длину дуги кривой (рисунок 111). 
									Если на кривой CCC определена скалярная функцияF,F,F, то интеграл 
									∫0SF(r(s))ds\int\limits_0^S {F\left( {\mathbf{r}\left( s \right)} \right)ds} 0∫S​F(r(s))ds называется 
									криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции 
									FFF вдоль кривой CCC и обозначается как
									∫CF(x,y,z)ds      или    ∫CFds.\int\limits_C {F\left( {x,y,z} \right)ds} \;\;\;\text{или}\;\;\int\limits_C {Fds} .C∫​F(x,y,z)dsилиC∫​Fds.
									Криволинейный интеграл ∫CFds\int\limits_C {Fds}C∫​Fds существует, если функция FFF непрерывна на кривой C.C.C.
Рис.1
Рис.2

										Свойства криволинейного интеграла первого рода
									

									Криволинейный интеграл III рода обладает следующими свойствами:
									Интеграл не зависит от ориентации кривой;
Пусть кривая C1{C_1}C1​ начинается в точке AAA и заканчивается в точке B,B,B, а кривая C2{C_2}C2​
									начинается в точке BBB и заканчивается в точке DDD (рисунок 222). Тогда их объединением будет 
									называться кривая C1∪C2,{C_1} \cup {C_2},C1​∪C2​, которая проходит от AAA к BBB вдоль кривой C1{C_1}C1​ и затем от BBB к DDD 
									вдоль кривой C2.{C_2}.C2​. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение
									∫C1∪C2Fds=∫C1Fds+∫C2Fds;\int\limits_{{C_1} \cup {C_2}} {Fds}  = \int\limits_{{C_1}} {Fds}  + \int\limits_{{C_2}} {Fds} ;C1​∪C2​∫​Fds=C1​∫​Fds+C2​∫​Fds;
									
Если гладкая кривая CCC задана параметрически соотношением r=r(t),\mathbf{r} = \mathbf{r}\left( t \right),r=r(t),
									α≤t≤β\alpha  \le t \le \beta α≤t≤β и скалярная функция FFF непрерывна на кривой C,C,C, то 
									∫CF(x,y,z)ds=∫αβF(x(t),y(t),z(t))(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2dt;
									{\int\limits_C {F\left( {x,y,z} \right)ds}  }
									= {\int\limits_\alpha ^\beta  {F\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {z'\left( t \right)} \right)}^2}} dt} ;}
									C∫​F(x,y,z)ds=α∫β​F(x(t),y(t),z(t))(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2​dt;
									
Если CCC является гладкой кривой в плоскости Oxy,Oxy,Oxy, заданной уравнением y=f(x),y = f\left( x \right),y=f(x),
									a≤x≤b,a \le x \le b,a≤x≤b, то 
									∫CF(x,y)ds=∫abF(x,f(x))1+(f′(x))2dx;
									{\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds}  }
									= {\int\limits_a^b {F\left( {x,f\left( x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx} ;}
									C∫​F(x,y)ds=a∫b​F(x,f(x))1+(f′(x))2​dx;
									
Если гладкая кривая CCC в плоскости OxyOxyOxy определена уравнением x=φ(y),x = \varphi \left( y \right),x=φ(y),
									c≤y≤d,c \le y \le d,c≤y≤d, то 
									∫CF(x,y)ds=∫cdF(φ(y),y)1+(φ′(y))2dy;
									{\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds}  }
									= {\int\limits_c^d {F\left( {\varphi \left( y \right),y} \right)\sqrt {1 + {{\left( {\varphi '\left( y \right)} \right)}^2}} dy} ;}
									C∫​F(x,y)ds=c∫d​F(φ(y),y)1+(φ′(y))2​dy;
									
В полярных координатах интеграл ∫CF(x,y)ds\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds} C∫​F(x,y)ds выражается формулой
									∫CF(x,y)ds=∫αβF(rcos⁡θ,rsin⁡θ)r2+(drdθ)2dθ,
									{\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds}  }
									= {\int\limits_\alpha ^\beta  {F\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)\sqrt {{r^2} + {{\left( {\frac{{dr}}{{d\theta }}} \right)}^2}} d\theta } ,}
									C∫​F(x,y)ds=α∫β​F(rcosθ,rsinθ)r2+(dθdr​)2​dθ,
									где кривая CCC задана в полярных координатах функцией r(θ).r\left( \theta  \right).r(θ).
									

									Пример 1
								

									Найти интеграл ∫Cx2yds\int\limits_C {{x^2}yds} C∫​x2yds вдоль отрезка прямой y=xy = xy=x от начала координат до точки (2,2)\left( {2,2} \right)(2,2)
									(рисунок 333).
									
										Решение.
									
∫Cx2yds=∫02x2⋅x1+12dx=2∫02x3dx=2[(x44)∣02]=42.
									{\int\limits_C {{x^2}yds}  = \int\limits_0^2 {{x^2} \cdot x\sqrt {1 + {1^2}} dx}  }
									= {\sqrt 2 \int\limits_0^2 {{x^3}dx}  }
									= {\sqrt 2 \left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_0^2} \right] }
									= {4\sqrt 2 .}
									C∫​x2yds=0∫2​x2⋅x1+12​dx=2​0∫2​x3dx=2​[(4x4​)​02​]=42​.
Рис.3
Рис.4

									Пример 2
								

									Вычислить интеграл ∫Cy2ds,\int\limits_C {{y^2}ds},C∫​y2ds, где CCC − дуга окружности x=acos⁡t,x = a\cos t,x=acost,y=asin⁡t,y = a\sin t,y=asint,0≤t≤π2.0 \le t \le \large\frac{\pi }{2}\normalsize.0≤t≤2π​.
										Решение.
									

									Запишем дифференциал дуги кривой:
									ds=(x′(t))2+(y′(t))2dt=a2sin⁡2t+a2cos⁡2tdt=adt.
									{ds = \sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2}} dt }
									= {\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}t + {a^2}{{\cos }^2}t} dt = adt.}
									ds=(x′(t))2+(y′(t))2​dt=a2sin2t+a2cos2t​dt=adt.
									Тогда, применяя формулу 
									∫CF(x,y,z)ds=∫αβF(x(t),y(t),z(t))(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2dt
									{\int\limits_C {F\left( {x,y,z} \right)ds}  }
									= {\int\limits_\alpha ^\beta  {F\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {z'\left( t \right)} \right)}^2}} dt} }
									C∫​F(x,y,z)ds=α∫β​F(x(t),y(t),z(t))(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2​dt
									в плоскости Oxy,Oxy,Oxy, получаем
									∫Cy2ds=∫0π2a2sin⁡2t⋅adt=a3∫0π2sin⁡2tdt=a32∫0π2(1−cos⁡2t)dt=a32[(t−sin⁡2t2)∣0π2]=a32⋅π2=a3π4.
									{\int\limits_C {{y^2}ds}  = \int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {{a^2}{{\sin }^2}t \cdot adt}  }
									= {{a^3}\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {{{\sin }^2}tdt}  }
									= {\frac{{{a^3}}}{2}\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt}  }
									= {\frac{{{a^3}}}{2}\left[ {\left. {\left( {t - \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize}} \right] }
									= {\frac{{{a^3}}}{2} \cdot \frac{\pi }{2} }
									= {\frac{{{a^3}\pi }}{4}.}
									C∫​y2ds=0∫2π​​a2sin2t⋅adt=a30∫2π​​sin2tdt=2a3​0∫2π​​(1−cos2t)dt=2a3​​(t−2sin2t​)​02π​​​=2a3​⋅2π​=4a3π​.

									Пример 3
								

									Вычислить интеграл ∫Cx2ds,\int\limits_C {{x^2}ds},C∫​x2ds, где CCC − кривая, заданная уравнением  
									y=f(x)=ln⁡x,y = f\left( x \right) = \ln x,y=f(x)=lnx,1≤x≤e.1 \le x \le e.1≤x≤e.
										Решение.
									

									Используем формулу
									∫CF(x,y)ds=∫abF(x,f(x))1+(f′(x))2dx.
									{\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds}  }
									= {\int\limits_a^b {F\left( {x,f\left( x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx}.}
									C∫​F(x,y)ds=a∫b​F(x,f(x))1+(f′(x))2​dx.
									Здесь
									1+(f′(x))2=1+[(ln⁡x)′]2=1+1x2=1+x2x.
									{\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}}  }
									= {\sqrt {1 + {{\left[ {{{\left( {\ln x} \right)}^\prime }} \right]}^2}}  }
									= {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}}  }
									= {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x}.}
									1+(f′(x))2​=1+[(lnx)′]2​=1+x21​​=x1+x2​​.
									Следовательно,
									∫Cx2ds=∫1ex21+x2xdx=∫1e1+x2xdx=12∫1e1+x2d(1+x2)=12[((1+x2)3232)∣1e]=13[(1+e2)32−232]=(1+e2)3−83≈7,16.
									{\int\limits_C {{x^2}ds}  = \int\limits_1^e {{x^2}\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x}dx}  }
									= {\int\limits_1^e {\sqrt {1 + {x^2}} xdx}  }
									= {\frac{1}{2}\int\limits_1^e {\sqrt {1 + {x^2}} d\left( {1 + {x^2}} \right)}  }
									= {\frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^e} \right] }
									= {\frac{1}{3}\left[ {{{\left( {1 + {e^2}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} - {2^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right] }
									= {\frac{{\sqrt {{{\left( {1 + {e^2}} \right)}^3}}  - \sqrt 8 }}{3} \approx 7,16.}
									C∫​x2ds=1∫e​x2x1+x2​​dx=1∫e​1+x2​xdx=21​1∫e​1+x2​d(1+x2)=21​​​23​(1+x2)23​​​​1e​​=31​[(1+e2)23​−223​]=3(1+e2)3​−8​​≈7,16.

									Пример 4
								

									Вычислить интеграл ∫Cds,\int\limits_C {ds},C∫​ds, где CCC является отрезком прямой от точки O(0,0)O\left( {0,0} \right)O(0,0)
									до A(1,2)A\left( {1,2} \right)A(1,2) (рисунок 444 выше).
									
										Решение.
									

									Найдем сначала 
									уравнение отрезкаOA.OA.OA.y−yOyA−yO=x−xOxA−xO,    ⇒y−02−0=x−01−0,    ⇒y2=x1    или    y=2x.
									{\frac{{y - {y_O}}}{{{y_A} - {y_O}}} = \frac{{x - {x_O}}}{{{x_A} - {x_O}}},}\;\; 
									{\Rightarrow \frac{{y - 0}}{{2 - 0}} = \frac{{x - 0}}{{1 - 0}},}\;\; 
									{\Rightarrow \frac{y}{2} = \frac{x}{1}\;\;\text{или}\;\;y = 2x.}
									yA​−yO​y−yO​​=xA​−xO​x−xO​​,⇒2−0y−0​=1−0x−0​,⇒2y​=1x​илиy=2x.
									Применяя формулу
									∫CF(x,y)ds=∫abF(x,f(x))1+(f′(x))2dx,
									{\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds}  }
									= {\int\limits_a^b {F\left( {x,f\left( x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx},}
									C∫​F(x,y)ds=a∫b​F(x,f(x))1+(f′(x))2​dx,
									находим искомый криволинейный интеграл.
									∫Cds=∫011+22dx=5∫01dx=5⋅[x∣01]=5.
									{\int\limits_C {ds}  = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 + {2^2}} dx}  }
									= {\sqrt 5 \int\limits_0^1 {dx}  }
									= {\sqrt 5  \cdot \left[ {\left. x \right|_0^1} \right] = \sqrt 5 .}
									C∫​ds=0∫1​1+22​dx=5​0∫1​dx=5​⋅[x∣01​]=5​.

									Пример 5
								

									Вычислить интеграл ∫C(x2+y2)zds,\int\limits_C {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)zds},C∫​(x2+y2)zds, где кривая CCC задана параметрически в виде
									r(t)=(sin⁡3t,cos⁡3t,4t),\mathbf{r}\left( t \right) = \left( {\sin 3t,\cos 3t,4t} \right),r(t)=(sin3t,cos3t,4t),0≤t≤π.0 \le t \le \pi .0≤t≤π.
										Решение.
									

									Применяя формулу
									∫CF(x,y,z)ds=∫αβF(x(t),y(t),z(t))(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2dt,
									{\int\limits_C {F\left( {x,y,z} \right)ds}  }
									= {\int\limits_\alpha ^\beta  {F\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {z'\left( t \right)} \right)}^2}} dt},}
									C∫​F(x,y,z)ds=α∫β​F(x(t),y(t),z(t))(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2​dt,
									можно записать 
									∫C(x2+y2)zds=∫0π(sin⁡23t+cos⁡23t)⋅4t⋅(3cos⁡3t)2+(−3sin⁡3t)2+16 dt=4∫0πt9(cos⁡23t+sin⁡23t)+16 dt=20∫0πtdt=20[(t22)∣0π]=10π2.
									{\int\limits_C {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)zds}  }
									= {\int\limits_0^\pi  {\left( {{{\sin }^2}3t + {{\cos }^2}3t} \right) \cdot 4t \cdot \sqrt {{{\left( {3\cos 3t} \right)}^2} + {{\left( { - 3\sin 3t} \right)}^2} + 16} \,dt}  }
									= {4\int\limits_0^\pi  {t\sqrt {9\left( {{{\cos }^2}3t + {{\sin }^2}3t} \right) + 16} \,dt}  }
									= {20\int\limits_0^\pi  {tdt}  }
									= {20\left[ {\left. {\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^\pi } \right] }
									= {10{\pi ^2}.}
									C∫​(x2+y2)zds=0∫π​(sin23t+cos23t)⋅4t⋅(3cos3t)2+(−3sin3t)2+16​dt=40∫π​t9(cos23t+sin23t)+16​dt=200∫π​tdt=20[(2t2​)​0π​]=10π2.

									Пример 6
								

									Вычислить криволинейный интеграл ∫Cdsy−x,\int\limits_C {\large\frac{{ds}}{{y - x}}\normalsize},C∫​y−xds​,
									где кривая CCC − отрезок прямой от точки (0,−2)\left( {0, - 2} \right)(0,−2) до (4,0)\left( {4, 0} \right)(4,0) (рисунок555).
									
										Решение.
									

									Найдем уравнение отрезка AB.AB.AB.y−yAyB−yA=x−xAxB−xA,    ⇒y+20+2=x−04−0,    ⇒y+22=x4    или    y=x2−2.
									{\frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}} = \frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}},}\;\; 
									{\Rightarrow \frac{{y + 2}}{{0 + 2}} = \frac{{x - 0}}{{4 - 0}},}\;\; 
									{\Rightarrow \frac{y + 2}{2} = \frac{x}{4}\;\;\text{или}\;\;y = \frac {x}{2} - 2.}
									yB​−yA​y−yA​​=xB​−xA​x−xA​​,⇒0+2y+2​=4−0x−0​,⇒2y+2​=4x​илиy=2x​−2.
									По формуле 
									∫CF(x,y)ds=∫abF(x,f(x))1+(f′(x))2dx
									{\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds}  }
									= {\int\limits_a^b {F\left( {x,f\left( x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx}}
									C∫​F(x,y)ds=a∫b​F(x,f(x))1+(f′(x))2​dx
									находим заданный интеграл:
									∫Cdsy−x=∫041x2−2−x1+(12)2dx=∫041−2−x254dx=−52∫04dxx+4=−5[(ln⁡∣x+4∣)∣04]=−5(ln⁡8−ln⁡4)=−5ln⁡2≈−1,55.
									{\int\limits_C {\frac{{ds}}{{y - x}}}  }
									= {\int\limits_0^4 {\frac{1}{{\frac{x}{2} - 2 - x}}\sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} dx}  }
									= {\int\limits_0^4 {\frac{1}{{ - 2 - \frac{x}{2}}}\sqrt {\frac{5}{4}} dx}  }
									= { - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x + 4}}}  }
									= { - \sqrt 5 \left[ {\left. {\left( {\ln \left| {x + 4} \right|} \right)} \right|_0^4} \right] }
									= { - \sqrt 5 \left( {\ln 8 - \ln 4} \right) }
									= { - \sqrt 5 \ln 2 \approx  - 1,55.}
									C∫​y−xds​=0∫4​2x​−2−x1​1+(21​)2​dx=0∫4​−2−2x​1​45​​dx=−25​​0∫4​x+4dx​=−5​[(ln∣x+4∣)∣04​]=−5​(ln8−ln4)=−5​ln2≈−1,55.
Рис.5
Рис.6

									Пример 7
								

									Найти криволинейный интеграл ∫Cxyds,\int\limits_C {xyds},C∫​xyds, где кривая CCC является дугой эллипса 
									x2a2+y2b2=1,{\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize} + {\large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize} = 1,a2x2​+b2y2​=1,
									лежащей в первом квадранте (рисунок 666).
									
										Решение.
									

									Запишем уравнение эллипса в параметрической форме:
									{x=acos⁡ty=bsin⁡t,    0≤t≤2π.
									{\left\{ \begin{array}{l}
									x = a\cos t\\
									y = b\sin t
									\end{array} \right.,}\;\;
									{0 \le t \le 2\pi .}
									{x=acosty=bsint​,0≤t≤2π.
									Диапазон изменений ttt для первого квадранта равен 0≤t≤π2.0 \le t \le \large\frac{\pi }{2}\normalsize .0≤t≤2π​.
									Следовательно, по формуле 
									∫CF(x,y)ds=∫αβF(x(t),y(t))(x′(t))2+(y′(t))2dt
									{\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds}  }
									= {\int\limits_\alpha ^\beta  {F\left( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2}  } dt} }
									C∫​F(x,y)ds=α∫β​F(x(t),y(t))(x′(t))2+(y′(t))2​dt
									заданный интеграл преобразуется следующим образом:
									I=∫Cxyds=∫0π2acos⁡t⋅bsin⁡t⋅(−asin⁡t)2+(bcos⁡t)2dt=∫0π2acos⁡t⋅bsin⁡t⋅a2sin⁡2t+b2cos⁡2tdt.
									{I = \int\limits_C {xyds}  }
									= {\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {a\cos t \cdot b\sin t \cdot \sqrt {{{\left( { - a\sin t} \right)}^2} + {{\left( {b\cos t} \right)}^2}} dt}  }
									= {\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {a\cos t \cdot b\sin t \cdot \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{\cos^2}t} dt} .}
									I=C∫​xyds=0∫2π​​acost⋅bsint⋅(−asint)2+(bcost)2​dt=0∫2π​​acost⋅bsint⋅a2sin2t+b2cos2t​dt.
									Сделаем замену переменной. Положим asin⁡t=ua\sin t = uasint=u или sin⁡t=ua.\sin t = \large\frac{u}{a}\normalsize .sint=au​. Тогда
									acos⁡tdt=du,      b2cos⁡2t=b2(1−sin⁡2t)=b2[1−(ua)2].
									{a\cos tdt = du,}\;\;\;
									{{b^2}{\cos ^2}t = {b^2}\left( {1 - {{\sin }^2}t} \right) }
									= {{b^2}\left[ {1 - {{\left( {\frac{u}{a}} \right)}^2}} \right].}
									acostdt=du,b2cos2t=b2(1−sin2t)=b2[1−(au​)2].
									Уточним пределы интегрирования. Если t=0,t = 0,t=0, то u=0,u = 0,u=0, а при 
									t=π2t = \large\frac{\pi }{2}\normalsizet=2π​ получаем u=a.u = a.u=a. В результате интеграл становится равным
									I=∫0au⋅b⋅dua⋅u2+b2a2(a2−u2)du=ba∫0au2+b2−b2a2u2udu=ba∫0ab2+(1−b2a2)u2udu.
									{I = \int\limits_0^a {u \cdot b \cdot \frac{{du}}{a} \cdot \sqrt {{u^2} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\left( {{a^2} - {u^2}} \right)} du}  }
									= {\frac{b}{a}\int\limits_0^a {\sqrt {{u^2} + {b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{u^2}} udu}  }
									= {\frac{b}{a}\int\limits_0^a {\sqrt {{b^2} + \left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right){u^2}} udu} .}
									I=0∫a​u⋅b⋅adu​⋅u2+a2b2​(a2−u2)​du=ab​0∫a​u2+b2−a2b2​u2​udu=ab​0∫a​b2+(1−a2b2​)u2​udu.
									Для вычисления полученного интеграла удобно сделать еще одну замену. 
									p=b2+(1−b2a2)u2,    ⇒dp=(1−b2a2)⋅2udu,    ⇒udu=a2dp2(a2−b2).
									{p = {b^2} + \left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right){u^2},}\;\; 
									{\Rightarrow dp = \left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right) \cdot 2udu,}\;\; 
									{\Rightarrow udu = \frac{{{a^2}dp}}{{2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}.}
									p=b2+(1−a2b2​)u2,⇒dp=(1−a2b2​)⋅2udu,⇒udu=2(a2−b2)a2dp​.
									Если u=0,u = 0,u=0, то p=b2p = {b^2}p=b2 и, соответственно, если u=a,u = a,u=a, то p=a2.p = {a^2}.p=a2.
									Таким образом, 
									I=ba∫b2a2pa22(a2−b2)dp=ab2(a2−b2)∫b2a2pdp=ab2(a2−b2)[(p3232)∣b2a2]=ab2(a2−b2)⋅23(a3−b3)=ab3(a−b)⋅(a−b)(a2+ab+b2)=ab(a2+ab+b2)3(a+b).
									{I = \frac{b}{a}\int\limits_{{b^2}}^{{a^2}} {\sqrt p \frac{{{a^2}}}{{2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}dp}  }
									= {\frac{{ab}}{{2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}\int\limits_{{b^2}}^{{a^2}} {\sqrt p dp}  }
									= {\frac{{ab}}{{2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{p^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_{{b^2}}^{{a^2}}} \right] }
									= {\frac{{ab}}{{2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}} \cdot \frac{2}{3}\left( {{a^3} - {b^3}} \right) }
									= {\frac{{ab}}{{3\left( {a - b} \right)}} \cdot \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) }
									= {\frac{{ab\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}}{{3\left( {a + b} \right)}}.}
									I=ab​b2∫a2​p​2(a2−b2)a2​dp=2(a2−b2)ab​b2∫a2​p​dp=2(a2−b2)ab​​(23​p23​​)​b2a2​​=2(a2−b2)ab​⋅32​(a3−b3)=3(a−b)ab​⋅(a−b)(a2+ab+b2)=3(a+b)ab(a2+ab+b2)​.