

Интеграл не зависит от ориентации кривой;
Пусть кривая \({C_1}\) начинается в точке \(A\) и заканчивается в точке \(B,\) а кривая \({C_2}\) начинается в точке \(B\) и заканчивается в точке \(D\) (рисунок \(2\)). Тогда их объединением будет называться кривая \({C_1} \cup {C_2},\) которая проходит от \(A\) к \(B\) вдоль кривой \({C_1}\) и затем от \(B\) к \(D\) вдоль кривой \({C_2}.\) Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение \[\int\limits_{{C_1} \cup {C_2}} {Fds} = \int\limits_{{C_1}} {Fds} + \int\limits_{{C_2}} {Fds} ;\]
Если гладкая кривая \(C\) задана параметрически соотношением \(\mathbf{r} = \mathbf{r}\left( t \right),\) \(\alpha \le t \le \beta \) и скалярная функция \(F\) непрерывна на кривой \(C,\) то \[ {\int\limits_C {F\left( {x,y,z} \right)ds} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {F\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {z'\left( t \right)} \right)}^2}} dt} ;} \]
Если \(C\) является гладкой кривой в плоскости \(Oxy,\) заданной уравнением \(y = f\left( x \right),\) \(a \le x \le b,\) то \[ {\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds} } = {\int\limits_a^b {F\left( {x,f\left( x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx} ;} \]
Если гладкая кривая \(C\) в плоскости \(Oxy\) определена уравнением \(x = \varphi \left( y \right),\) \(c \le y \le d,\) то \[ {\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds} } = {\int\limits_c^d {F\left( {\varphi \left( y \right),y} \right)\sqrt {1 + {{\left( {\varphi '\left( y \right)} \right)}^2}} dy} ;} \]
В полярных координатах интеграл \(\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds} \) выражается формулой \[ {\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {F\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)\sqrt {{r^2} + {{\left( {\frac{{dr}}{{d\theta }}} \right)}^2}} d\theta } ,} \] где кривая \(C\) задана в полярных координатах функцией \(r\left( \theta \right).\)



