Криволинейные интегралы первого рода
Определение
Пусть кривая CC описывается векторной функцией r=r(s),\mathbf{r} = \mathbf{r}\left( s \right), 0sS,0 \le s \le S, где переменная ss представляет собой длину дуги кривой (рисунок 11). Если на кривой CC определена скалярная функция F,F, то интеграл 0SF(r(s))ds\int\limits_0^S {F\left( {\mathbf{r}\left( s \right)} \right)ds} называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции FF вдоль кривой CC и обозначается как CF(x,y,z)ds      или    CFds.\int\limits_C {F\left( {x,y,z} \right)ds} \;\;\;\text{или}\;\;\int\limits_C {Fds} . Криволинейный интеграл CFds\int\limits_C {Fds} существует, если функция FF непрерывна на кривой C.C.
Рис.1
Рис.2
Свойства криволинейного интеграла первого рода
Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:
  1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;

  2. Пусть кривая C1{C_1} начинается в точке AA и заканчивается в точке B,B, а кривая C2{C_2} начинается в точке BB и заканчивается в точке DD (рисунок 22). Тогда их объединением будет называться кривая C1C2,{C_1} \cup {C_2}, которая проходит от AA к BB вдоль кривой C1{C_1} и затем от BB к DD вдоль кривой C2.{C_2}. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение C1C2Fds=C1Fds+C2Fds;\int\limits_{{C_1} \cup {C_2}} {Fds} = \int\limits_{{C_1}} {Fds} + \int\limits_{{C_2}} {Fds} ;

  3. Если гладкая кривая CC задана параметрически соотношением r=r(t),\mathbf{r} = \mathbf{r}\left( t \right), αtβ\alpha \le t \le \beta и скалярная функция FF непрерывна на кривой C,C, то CF(x,y,z)ds=αβF(x(t),y(t),z(t))(x(t))2+(y(t))2+(z(t))2dt; {\int\limits_C {F\left( {x,y,z} \right)ds} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {F\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {z'\left( t \right)} \right)}^2}} dt} ;}

  4. Если CC является гладкой кривой в плоскости Oxy,Oxy, заданной уравнением y=f(x),y = f\left( x \right), axb,a \le x \le b, то CF(x,y)ds=abF(x,f(x))1+(f(x))2dx; {\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds} } = {\int\limits_a^b {F\left( {x,f\left( x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx} ;}

  5. Если гладкая кривая CC в плоскости OxyOxy определена уравнением x=φ(y),x = \varphi \left( y \right), cyd,c \le y \le d, то CF(x,y)ds=cdF(φ(y),y)1+(φ(y))2dy; {\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds} } = {\int\limits_c^d {F\left( {\varphi \left( y \right),y} \right)\sqrt {1 + {{\left( {\varphi '\left( y \right)} \right)}^2}} dy} ;}

  6. В полярных координатах интеграл CF(x,y)ds\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds} выражается формулой CF(x,y)ds=αβF(rcosθ,rsinθ)r2+(drdθ)2dθ, {\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {F\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)\sqrt {{r^2} + {{\left( {\frac{{dr}}{{d\theta }}} \right)}^2}} d\theta } ,} где кривая CC задана в полярных координатах функцией r(θ).r\left( \theta \right).

Пример 1
Найти интеграл Cx2yds\int\limits_C {{x^2}yds} вдоль отрезка прямой y=xy = x от начала координат до точки (2,2)\left( {2,2} \right) (рисунок 33).
Решение.
Cx2yds=02x2x1+12dx=202x3dx=2[(x44)02]=42. {\int\limits_C {{x^2}yds} = \int\limits_0^2 {{x^2} \cdot x\sqrt {1 + {1^2}} dx} } = {\sqrt 2 \int\limits_0^2 {{x^3}dx} } = {\sqrt 2 \left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_0^2} \right] } = {4\sqrt 2 .}
Рис.3
Рис.4
Пример 2
Вычислить интеграл Cy2ds,\int\limits_C {{y^2}ds}, где CC − дуга окружности x=acost,x = a\cos t, y=asint,y = a\sin t, 0tπ2.0 \le t \le \large\frac{\pi }{2}\normalsize.
Решение.
Запишем дифференциал дуги кривой: ds=(x(t))2+(y(t))2dt=a2sin2t+a2cos2tdt=adt. {ds = \sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2}} dt } = {\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}t + {a^2}{{\cos }^2}t} dt = adt.} Тогда, применяя формулу CF(x,y,z)ds=αβF(x(t),y(t),z(t))(x(t))2+(y(t))2+(z(t))2dt {\int\limits_C {F\left( {x,y,z} \right)ds} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {F\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {z'\left( t \right)} \right)}^2}} dt} } в плоскости Oxy,Oxy, получаем Cy2ds=0π2a2sin2tadt=a30π2sin2tdt=a320π2(1cos2t)dt=a32[(tsin2t2)0π2]=a32π2=a3π4. {\int\limits_C {{y^2}ds} = \int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {{a^2}{{\sin }^2}t \cdot adt} } = {{a^3}\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {{{\sin }^2}tdt} } = {\frac{{{a^3}}}{2}\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} } = {\frac{{{a^3}}}{2}\left[ {\left. {\left( {t - \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize}} \right] } = {\frac{{{a^3}}}{2} \cdot \frac{\pi }{2} } = {\frac{{{a^3}\pi }}{4}.}
Пример 3
Вычислить интеграл Cx2ds,\int\limits_C {{x^2}ds}, где CC − кривая, заданная уравнением y=f(x)=lnx,y = f\left( x \right) = \ln x, 1xe.1 \le x \le e.
Решение.
Используем формулу CF(x,y)ds=abF(x,f(x))1+(f(x))2dx. {\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds} } = {\int\limits_a^b {F\left( {x,f\left( x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx}.} Здесь 1+(f(x))2=1+[(lnx)]2=1+1x2=1+x2x. {\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} } = {\sqrt {1 + {{\left[ {{{\left( {\ln x} \right)}^\prime }} \right]}^2}} } = {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} } = {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x}.} Следовательно, Cx2ds=1ex21+x2xdx=1e1+x2xdx=121e1+x2d(1+x2)=12[((1+x2)3232)1e]=13[(1+e2)32232]=(1+e2)3837,16. {\int\limits_C {{x^2}ds} = \int\limits_1^e {{x^2}\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x}dx} } = {\int\limits_1^e {\sqrt {1 + {x^2}} xdx} } = {\frac{1}{2}\int\limits_1^e {\sqrt {1 + {x^2}} d\left( {1 + {x^2}} \right)} } = {\frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^e} \right] } = {\frac{1}{3}\left[ {{{\left( {1 + {e^2}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} - {2^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right] } = {\frac{{\sqrt {{{\left( {1 + {e^2}} \right)}^3}} - \sqrt 8 }}{3} \approx 7,16.}
Пример 4
Вычислить интеграл Cds,\int\limits_C {ds}, где CC является отрезком прямой от точки O(0,0)O\left( {0,0} \right) до A(1,2)A\left( {1,2} \right) (рисунок 44 выше).
Решение.
Найдем сначала уравнение отрезка OA.OA. yyOyAyO=xxOxAxO,    y020=x010,    y2=x1    или    y=2x. {\frac{{y - {y_O}}}{{{y_A} - {y_O}}} = \frac{{x - {x_O}}}{{{x_A} - {x_O}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y - 0}}{{2 - 0}} = \frac{{x - 0}}{{1 - 0}},}\;\; {\Rightarrow \frac{y}{2} = \frac{x}{1}\;\;\text{или}\;\;y = 2x.} Применяя формулу CF(x,y)ds=abF(x,f(x))1+(f(x))2dx, {\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds} } = {\int\limits_a^b {F\left( {x,f\left( x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx},} находим искомый криволинейный интеграл. Cds=011+22dx=501dx=5[x01]=5. {\int\limits_C {ds} = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 + {2^2}} dx} } = {\sqrt 5 \int\limits_0^1 {dx} } = {\sqrt 5 \cdot \left[ {\left. x \right|_0^1} \right] = \sqrt 5 .}
Пример 5
Вычислить интеграл C(x2+y2)zds,\int\limits_C {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)zds}, где кривая CC задана параметрически в виде r(t)=(sin3t,cos3t,4t),\mathbf{r}\left( t \right) = \left( {\sin 3t,\cos 3t,4t} \right), 0tπ.0 \le t \le \pi .
Решение.
Применяя формулу CF(x,y,z)ds=αβF(x(t),y(t),z(t))(x(t))2+(y(t))2+(z(t))2dt, {\int\limits_C {F\left( {x,y,z} \right)ds} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {F\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {z'\left( t \right)} \right)}^2}} dt},} можно записать C(x2+y2)zds=0π(sin23t+cos23t)4t(3cos3t)2+(3sin3t)2+16dt=40πt9(cos23t+sin23t)+16dt=200πtdt=20[(t22)0π]=10π2. {\int\limits_C {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)zds} } = {\int\limits_0^\pi {\left( {{{\sin }^2}3t + {{\cos }^2}3t} \right) \cdot 4t \cdot \sqrt {{{\left( {3\cos 3t} \right)}^2} + {{\left( { - 3\sin 3t} \right)}^2} + 16} \,dt} } = {4\int\limits_0^\pi {t\sqrt {9\left( {{{\cos }^2}3t + {{\sin }^2}3t} \right) + 16} \,dt} } = {20\int\limits_0^\pi {tdt} } = {20\left[ {\left. {\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^\pi } \right] } = {10{\pi ^2}.}
Пример 6
Вычислить криволинейный интеграл Cdsyx,\int\limits_C {\large\frac{{ds}}{{y - x}}\normalsize}, где кривая CC − отрезок прямой от точки (0,2)\left( {0, - 2} \right) до (4,0)\left( {4, 0} \right) (рисунок55).
Решение.
Найдем уравнение отрезка AB.AB. yyAyByA=xxAxBxA,    y+20+2=x040,    y+22=x4    или    y=x22. {\frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}} = \frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y + 2}}{{0 + 2}} = \frac{{x - 0}}{{4 - 0}},}\;\; {\Rightarrow \frac{y + 2}{2} = \frac{x}{4}\;\;\text{или}\;\;y = \frac {x}{2} - 2.} По формуле CF(x,y)ds=abF(x,f(x))1+(f(x))2dx {\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds} } = {\int\limits_a^b {F\left( {x,f\left( x \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx}} находим заданный интеграл: Cdsyx=041x22x1+(12)2dx=0412x254dx=5204dxx+4=5[(lnx+4)04]=5(ln8ln4)=5ln21,55. {\int\limits_C {\frac{{ds}}{{y - x}}} } = {\int\limits_0^4 {\frac{1}{{\frac{x}{2} - 2 - x}}\sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} dx} } = {\int\limits_0^4 {\frac{1}{{ - 2 - \frac{x}{2}}}\sqrt {\frac{5}{4}} dx} } = { - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x + 4}}} } = { - \sqrt 5 \left[ {\left. {\left( {\ln \left| {x + 4} \right|} \right)} \right|_0^4} \right] } = { - \sqrt 5 \left( {\ln 8 - \ln 4} \right) } = { - \sqrt 5 \ln 2 \approx - 1,55.}
Рис.5
Рис.6
Пример 7
Найти криволинейный интеграл Cxyds,\int\limits_C {xyds}, где кривая CC является дугой эллипса x2a2+y2b2=1,{\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize} + {\large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize} = 1, лежащей в первом квадранте (рисунок 66).
Решение.
Запишем уравнение эллипса в параметрической форме: {x=acosty=bsint,    0t2π. {\left\{ \begin{array}{l} x = a\cos t\\ y = b\sin t \end{array} \right.,}\;\; {0 \le t \le 2\pi .} Диапазон изменений tt для первого квадранта равен 0tπ2.0 \le t \le \large\frac{\pi }{2}\normalsize . Следовательно, по формуле CF(x,y)ds=αβF(x(t),y(t))(x(t))2+(y(t))2dt {\int\limits_C {F\left( {x,y} \right)ds} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {F\left( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2} } dt} } заданный интеграл преобразуется следующим образом: I=Cxyds=0π2acostbsint(asint)2+(bcost)2dt=0π2acostbsinta2sin2t+b2cos2tdt. {I = \int\limits_C {xyds} } = {\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {a\cos t \cdot b\sin t \cdot \sqrt {{{\left( { - a\sin t} \right)}^2} + {{\left( {b\cos t} \right)}^2}} dt} } = {\int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {a\cos t \cdot b\sin t \cdot \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{\cos^2}t} dt} .} Сделаем замену переменной. Положим asint=ua\sin t = u или sint=ua.\sin t = \large\frac{u}{a}\normalsize . Тогда acostdt=du,      b2cos2t=b2(1sin2t)=b2[1(ua)2]. {a\cos tdt = du,}\;\;\; {{b^2}{\cos ^2}t = {b^2}\left( {1 - {{\sin }^2}t} \right) } = {{b^2}\left[ {1 - {{\left( {\frac{u}{a}} \right)}^2}} \right].} Уточним пределы интегрирования. Если t=0,t = 0, то u=0,u = 0, а при t=π2t = \large\frac{\pi }{2}\normalsize получаем u=a.u = a. В результате интеграл становится равным I=0aubduau2+b2a2(a2u2)du=ba0au2+b2b2a2u2udu=ba0ab2+(1b2a2)u2udu. {I = \int\limits_0^a {u \cdot b \cdot \frac{{du}}{a} \cdot \sqrt {{u^2} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\left( {{a^2} - {u^2}} \right)} du} } = {\frac{b}{a}\int\limits_0^a {\sqrt {{u^2} + {b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{u^2}} udu} } = {\frac{b}{a}\int\limits_0^a {\sqrt {{b^2} + \left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right){u^2}} udu} .} Для вычисления полученного интеграла удобно сделать еще одну замену. p=b2+(1b2a2)u2,    dp=(1b2a2)2udu,    udu=a2dp2(a2b2). {p = {b^2} + \left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right){u^2},}\;\; {\Rightarrow dp = \left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right) \cdot 2udu,}\;\; {\Rightarrow udu = \frac{{{a^2}dp}}{{2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}.} Если u=0,u = 0, то p=b2p = {b^2} и, соответственно, если u=a,u = a, то p=a2.p = {a^2}. Таким образом, I=bab2a2pa22(a2b2)dp=ab2(a2b2)b2a2pdp=ab2(a2b2)[(p3232)b2a2]=ab2(a2b2)23(a3b3)=ab3(ab)(ab)(a2+ab+b2)=ab(a2+ab+b2)3(a+b). {I = \frac{b}{a}\int\limits_{{b^2}}^{{a^2}} {\sqrt p \frac{{{a^2}}}{{2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}dp} } = {\frac{{ab}}{{2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}\int\limits_{{b^2}}^{{a^2}} {\sqrt p dp} } = {\frac{{ab}}{{2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{p^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_{{b^2}}^{{a^2}}} \right] } = {\frac{{ab}}{{2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}} \cdot \frac{2}{3}\left( {{a^3} - {b^3}} \right) } = {\frac{{ab}}{{3\left( {a - b} \right)}} \cdot \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) } = {\frac{{ab\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}}{{3\left( {a + b} \right)}}.}