Кривизна и радиус кривизны

Рассмотрим плоскую кривую, заданную уравнением \(y = f\left( x \right).\) Пусть в точке \(M\left( {x,y} \right)\) проведена касательная к данной кривой, которая образует угол \(\alpha\) с осью абсцисс (рисунок \(1\)). При смещении \(\Delta s\) вдоль дуги кривой точка \(M\) переходит в точку \({M_1}.\) При этом положение касательной также изменяется: угол наклона касательной к оси \(Ox\) в точке \({M_1}\) будет составлять \(\alpha + \Delta\alpha.\) Таким образом, при смещении точки кривой на расстояние \(\Delta s\) касательная поворачивается на угол \(\Delta\alpha.\) (Будем считать, что угол \(\alpha\) возрастает при вращении против часовой стрелки.) Абсолютное значение отношения \(\large\frac{{\Delta \alpha }}{{\Delta s}}\normalsize\) называется средней кривизной дуги \(M{M_1}.\) В пределе, при \(\Delta s \to 0,\) мы получаем кривизну кривой в точке \(M:\) \[K = \lim\limits_{\Delta s \to 0} \left| {\frac{{\Delta \alpha }}{{\Delta s}}} \right|.\] Из приведенного определения следует, что кривизна в какой-либо точке кривой характеризует скорость вращения касательной в этой точке. Для плоской кривой \(y = f\left( x \right)\) кривизна в точке \(M\left( {x,y} \right)\) выражается через первую и вторую производные функции \(f\left( x \right)\) по формуле \[K = \frac{{\left| {y''\left( x \right)} \right|}}{{{{\left[ {1 + {{\left( {y'\left( x \right)} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}.\] Если кривая задана в параметрической форме уравнениями \(x = x\left( t \right),\) \(y = y\left( t \right),\) то ее кривизна в произвольной точке \(M\left( {x,y} \right)\) равна \[K = \frac{{\left| {x'y'' - y'x''} \right|}}{{{{\left[ {{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}.\] В случае, если кривая задана полярным уравнением \(r = r\left( \theta \right),\) кривизна находится по формуле \[K = \frac{{\left| {{r^2} + 2{{\left( {r'} \right)}^2} - rr''} \right|}}{{{{\left[ {{r^2} + {{\left( {r'} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}.\] Радиусом кривизны кривой в точке \(M\left( {x,y} \right)\) называется величина, обратная кривизне \(K\) данной кривой в рассматриваемой точке: \[R = \frac{1}{K}.\] Следовательно, для плоских кривых, заданных явным уравнением \(y = f\left( x \right),\) радиус кривизны в точке \(M\left( {x,y} \right)\) будет определяться выражением \[R = \frac{{{{\left[ {1 + {{\left( {y'\left( x \right)} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\left| {y''\left( x \right)} \right|}}.\]

Пример 1

Вычислить кривизну эллипса \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\] в его вершинах. Очевидно, достаточно найти кривизну эллипса в точках \(A\left( {a,0} \right)\) и \(B\left( {0,b} \right)\) (рисунок \(2\)), поскольку в силу симметрии кривой кривизна в двух противоположных вершинах эллипса будет такой же. Для расчета кривизны удобно перейти от канонического уравнения эллипса к уравнению в параметрической форме: \[x = a\cos t,\;\;\;y = b\sin t.\] где \(t\) − параметр. В точке \(A\left( {a,0} \right)\) параметр имеет значение \(t = 0,\) а в точке \(B\left( {0,b} \right)\) его значение равно \(t = \large\frac{\pi }{2}\normalsize.\) Находим первую и вторую производные: \[ {x' = {x'_t} = {\left( {a\cos t} \right)^\prime } = - a\sin t,}\;\;\; {x'' = {x''_{tt}} = {\left( { - a\sin t} \right)^\prime } = - a\cos t;} \] \[ {y' = {y'_t} = {\left( {b\sin t} \right)^\prime } = b\cos t,}\;\;\; {x'' = {x''_{tt}} = {\left( { b\cos t} \right)^\prime } = - b\sin t.} \] Кривизна параметрически заданной кривой выражается формулой \[K = \frac{{\left| {x'y'' - y'x''} \right|}}{{{{\left[ {{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}.\] Подставляя найденные выше производные, получаем: \[ {K = \frac{{\left| {\left( { - a\sin t} \right) \cdot \left( { - b\sin t} \right) - b\cos t \cdot \left( { - a\cos t} \right)} \right|}}{{{{\left[ {{{\left( { - a\sin t} \right)}^2} + {{\left( {b\cos t} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{\left| {ab\,{{\sin }^2}t + ab\,{{\cos }^2}t} \right|}}{{{{\left( {{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{{\cos }^2}t} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{\left| {ab\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)} \right|}}{{{{\left( {{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{{\cos }^2}t} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{ab}}{{{{\left( {{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{{\cos }^2}t} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}.} \] Теперь вычислим значения кривизны в вершинах \(A\left( {a,0} \right)\) и \(B\left( {0,b} \right):\) \[ {K\left( A \right) = K\left( {t = 0} \right) } = {\frac{{ab}}{{{{\left( {{a^2}{{\sin }^2}0 + {b^2}{{\cos }^2}0} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{ab}}{{{{\left( {{b^2}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{ab}}{{{b^3}}} } = {\frac{a}{{{b^2}}};} \] \[ {K\left( B \right) = K\left( {t = \frac{\pi }{2}} \right) } = {\frac{{ab}}{{{{\left( {{a^2}{{\sin }^2}\frac{\pi }{2} + {b^2}{{\cos }^2}\frac{\pi }{2}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{ab}}{{{{\left( {{a^2}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{ab}}{{{a^3}}} } = {\frac{b}{{{a^2}}}.} \]

Пример 2

Найти кривизну и радиус кривизны параболы \(y = {x^2}\) в начале координат. Запишем производные квадратичной функции: \[ {y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2x;}\;\;\; {y'' = {\left( {2x} \right)^\prime } = 2.} \] Тогда кривизна параболы определяется следующей формулой: \[ {K = \frac{{y''}}{{{{\left[ {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{2}{{{{\left[ {1 + {{\left( {2x} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{2}{{{{\left( {1 + 4{x^2}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}.} \] В начале координат (при \(x = 0\)) кривизна и радиус кривизны, соответственно, равны: \[ {K\left( {x = 0} \right) = \frac{2}{{{{\left( {1 + 4 \cdot {0^2}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} = 2,}\;\;\; {R = \frac{1}{K} = \frac{1}{2}.} \]

Пример 3

Найти кривизну и радиус кривизны кривой \(y = \cos mx\) в точке максимума. Данная функция достигает максимума в точках \(x = \large\frac{{2\pi n}}{m}\normalsize,\;n \in Z.\) В силу периодичности кривизна во всех точках максимума одинакова, поэтому достаточно рассмотреть лишь точку \(x = 0\). Запишем производные: \[ {y' = {\left( {\cos mx} \right)^\prime } = - m\sin mx,}\;\;\; {y'' = {\left( { - m\sin mx} \right)^\prime } = - {m^2}\cos mx.} \] Кривизна данной линии определяется формулой \[ {K = \frac{{\left| {y''} \right|}}{{{{\left[ {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{\left| { - {m^2}\cos mx} \right|}}{{{{\left[ {1 + {{\left( { - m\sin mx} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{\left| { - {m^2}\cos mx} \right|}}{{{{\left( {1 + {m^2}{{\sin }^2}mx} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}.} \] В точке максимума, при \(x = 0,\) кривизна и радиус кривизны, соответственно равны: \[ {K\left( {x = 0} \right) = \frac{{{m^2}}}{{{{\left( {1 + {m^2}{{\sin }^2}0} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} = {m^2},}\;\;\; {R = \frac{1}{K} = \frac{1}{{{m^2}}}.} \]

Пример 4

Вычислить кривизну и радиус кривизны графика функции \(y = \sqrt x \) при \(x = 1.\) Запишем производные от квадратного корня: \[ {y' = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }},}\;\;\; {y'' = {\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)^\prime } } = {{\left( {\frac{1}{2}{x^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{4}{x^{ - \large\frac{3}{2}\normalsize}} } = { - \frac{1}{{4\sqrt {{x^3}} }}.} \] Кривизна кривой определяется формулой \[\require{cancel} {K = \frac{{\left| {y''} \right|}}{{{{\left[ {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{\left| { - \frac{1}{{4\sqrt {{x^3}} }}} \right|}}{{{{\left[ {1 + {{\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{\frac{1}{{4\sqrt {{x^3}} }}}}{{{{\left( {1 + \frac{1}{{4x}}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{\frac{1}{{4\sqrt {{x^3}} }}}}{{{{\left( {\frac{{4x + 1}}{{4x}}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{{4^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}\cancel{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{4\cancel{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}{{\left( {4x + 1} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{2}{{{{\left( {4x + 1} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}.} \] В точке \(x = 1\) получаем следующие значения кривизны и радиуса кривизны: \[ {K\left( {x = 1} \right) = \frac{2}{{{{\left( {4 \cdot 1 + 1} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} = \frac{2}{{5\sqrt 5 }},}\;\;\; {R\left( {x = 1} \right) = \frac{1}{K} = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}.} \]

Пример 5

Найти кривизну линии, заданной уравнением \({y^2} + {x^3} = 0\) в точке \(\left( { - 1,1} \right).\) Вычислим производную данной функции, дифференцируя ее неявно: \[ {{y^2} + {x^3} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {{y^2} + {x^3}} \right)^\prime } = 0,}\;\; {\Rightarrow 3{x^2} + 2yy' = 0,}\;\; {\Rightarrow y' = - \frac{{3{x^2}}}{{2y}}.} \] Аналогично найдем вторую производную: \[ {3{x^2} + 2yy' = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {3{x^2} + 2yy'} \right)^\prime } = 0,}\;\; {\Rightarrow 6x + 2{\left( {y'} \right)^2} + 2yy'' = 0,}\;\; {\Rightarrow yy'' + {\left( {y'} \right)^2} + 3x = 0,}\;\; {\Rightarrow y'' = - \frac{{{{\left( {y'} \right)}^2} + 3x}}{y}.} \] В последней формуле подставим выражение для первой производной: \[ {y'' = - \frac{{{{\left( {y'} \right)}^2} + 3x}}{y} } = { - \frac{{{{\left( { - \frac{{3{x^2}}}{{2y}}} \right)}^2} + 3x}}{y} } = { - \frac{{\frac{{9{x^4}}}{{4{y^2}}} + 3x}}{y} } = { - \frac{{9{x^4} + 12x{y^2}}}{{4{y^3}}}.} \] Вычислим значения производных в точке \(\left( { - 1,1} \right):\) \[ {y'\left( { - 1,1} \right) = - \frac{{3 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^2}}}{{2 \cdot 1}} = - \frac{3}{2},}\;\;\; {y''\left( { - 1,1} \right) = - \frac{{9 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^4} + 12 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot {1^2}}}{{4 \cdot {1^3}}} } = {\frac{3}{4}.} \] Тогда кривизна линии в точке \(\left( { - 1,1} \right)\) составляет: \[ {K = \frac{{\left| {y''} \right|}}{{{{\left[ {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{\frac{3}{4}}}{{{{\left[ {1 + {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{\frac{3}{4}}}{{{{\left( {1 + \frac{9}{4}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{3}{4} \cdot \frac{{{4^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{{{13}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{6}{{{{13}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} \approx 0,128.} \]

Пример 6

Найти кривизну кардиоиды \(r = a\left( {1 + \cos \theta } \right)\) в точке \(\theta = 0.\) Для расчета кривизны кривой воспользуемся формулой \[K = \frac{{\left| {{r^2} + 2{{\left( {r'} \right)}^2} - rr''} \right|}}{{{{\left[ {{r^2} + {{\left( {r'} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}.\] Производные данной полярной кривой имеют вид: \[ {r' = {\left[ {a\left( {1 + \cos \theta } \right)} \right]^\prime } = - a\sin \theta ,}\;\;\; {r'' = {\left( { - a\sin \theta } \right)^\prime } = - a\cos \theta .} \] Подставляя это в формулу для кривизны, получаем: \[ {K = \frac{{\left| {{a^2}{{\left( {1 + \cos \theta } \right)}^2} + 2{{\left( { - a\sin \theta } \right)}^2} - a\left( {1 + \cos \theta } \right)\left( { - a\cos \theta } \right)} \right|}}{{{{\left[ {{a^2}{{\left( {1 + \cos \theta } \right)}^2} + {{\left( { - a\sin \theta } \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{\left| {{a^2}\left( {1 + 2\cos \theta + {{\cos }^2}\theta } \right) + 2{a^2}{{\sin }^2}\theta + {a^2}\cos \theta + {a^2}{{\cos }^2}\theta } \right|}}{{{{\left[ {{a^2}\left( {1 + 2\cos \theta + {{\cos }^2}\theta } \right) + {a^2}{{\sin }^2}\theta } \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{\left| {{a^2} + \color{blue}{2{a^2}\cos \theta} + \color{red}{{a^2}{{\cos }^2}\theta} + 2{a^2}{{\sin }^2}\theta + \color{blue}{{a^2}\cos \theta} + \color{red}{{a^2}{{\cos }^2}\theta} } \right|}}{{{{\left[ {{a^2} + 2{a^2}\cos \theta + {a^2}{{\cos }^2}\theta + {a^2}{{\sin }^2}\theta } \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{{a^2}\left| {1 + 3\cos \theta + 2\left( {{{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta } \right)} \right|}}{{{a^3}{{\left( {1 + 2\cos \theta + {{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta } \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{3\left( {1 + \cos \theta } \right)}}{{{2^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}a{{\left( {1 + \cos \theta } \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{3}{{{2^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}a{{\left( {1 + \cos \theta } \right)}^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}}}.} \] Следовательно, при \(\theta = 0\) кривизна кардиоиды равна \[ {K\left( {\theta = 0} \right) } = {\frac{3}{{{2^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}a{{\left( {1 + \cos \theta } \right)}^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{3}{{{2^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}{2^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}a}} } = {\frac{3}{{4a}}.} \]

Пример 7

Найти радиус кривизны циклоиды \[ {x = a\left( {t - \sin t} \right),}\;\;\; {y = a\left( {1 - \cos t} \right).} \] Радиус кривизны параметрически заданной кривой находится по формуле \[R = \frac{{{{\left[ {{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\left| {x'y'' - y'x''} \right|}}.\] Вычислим входящие в это выражение производные: \[ {x' = {\left[ {a\left( {t - \sin t} \right)} \right]^\prime } = a\left( {1 - \cos t} \right),}\;\;\; {x'' = {\left[ {a\left( {1 - \cos t} \right)} \right]^\prime } = a\sin t,} \] \[ {y' = {\left[ {a\left( {1 - \cos t} \right)} \right]^\prime } = a\sin t,}\;\;\; {y'' = {\left( {a\sin t} \right)^\prime } = a\cos t.} \] Подставляя найденные производные, получаем: \[ {R = \frac{{{{\left[ {{{\left( {a\left( {1 - \cos t} \right)} \right)}^2} + {{\left( {a\sin t} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\left| {a\left( {1 - \cos t} \right) \cdot a\cos t - a\sin t \cdot a\sin t} \right|}} } = {\frac{{{{\left[ {{a^2} - 2{a^2}\cos t + {a^2}{{\cos }^2}t + {a^2}{{\sin }^2}t} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\left| {{a^2}\cos t - {a^2}{{\cos }^2}t - {a^2}{{\sin }^2}t} \right|}} } = {\frac{{{{\left[ {2{a^2}\left( {1 - \cos t} \right)} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\left| {{a^2}\left( {\cos t - 1} \right)} \right|}} } = {\frac{{{2^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}{a^3}{{\left( {1 - \cos t} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{{a^2}\left( {1 - \cos t} \right)}} } = {{2^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}a{\left( {1 - \cos t} \right)^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} } = {{2^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}a \cdot {\left( {2{{\sin }^2}\frac{t}{2}} \right)^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} } = {4a{\left( {{{\sin }^2}\frac{t}{2}} \right)^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}.} \] Ограничиваясь первой аркой циклоиды, т.е. интервалом \(0 \le t \le 2\pi ,\) получаем следующее выражение для радиуса кривизны циклоиды: \[R = 4a\sin \frac{t}{2}.\] Отсюда следует, что радиус кривизны максимален при \(t = \pi.\) В этой точке его значение составляет \({R_{\max }} = 4a.\)

Пример 8

Определить кривизну кривой \(y = \arctan x\) при \(x = 0\) и на бесконечности. Запишем производные функции \(y = \arctan x:\) \[ {y' = {\left( {\arctan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{1 + {x^2}}},}\;\;\; {y'' = {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)^\prime } } = { - \frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}.} \] Тогда кривизна кривой арктангенса определяется выражением \[ {K = \frac{{\left| {y''} \right|}}{{{{\left[ {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{\left| { - \frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}} \right|}}{{{{\left[ {1 + {{\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{\frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}}}{{{{\left[ {\frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{2x{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^\cancel{3}}}}{{{\cancel{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}{{\left[ {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} + 1} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{2x\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{{\left[ {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} + 1} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}.} \] Как видно, в точке \(x = 0\) кривизна кривой равна нулю: \(K\left( 0 \right) = {K_0} = 0.\) В данном случае точка \(x = 0\) является точкой перегиба функции \(y = \arctan x.\) Поскольку в точке перегиба вторая производная равна нулю, то кривизна здесь также должна быть равна нулю, что и показывает полученное решение. Вычислим значение кривизны \({K_{\infty}}\) в пределе при \(x \to \infty:\) \[ {{K_\infty } = \lim\limits_{x \to \infty } K\left( x \right) } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{2x\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{{\left[ {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} + 1} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^3} + 2x}}{{{{\left( {{x^4} + 2{x^2} + 2} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{2{x^3} + 2x}}{{{x^6}}}}}{{\frac{{{{\left( {{x^4} + 2{x^2} + 2} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{{x^6}}}}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{2}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^5}}}}}{{{{\left( {\frac{{{x^4} + 2{x^2} + 2}}{{{x^4}}}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{2}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^5}}}}}{{{{\left( {1 + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{0}{1} = 0.} \] Таким образом, на бесконечности кривизна кривой арктангенса также стремится к нулю. Отсюда следует, что существует некоторое промежуточное значение \(x,\) при котором кривизна кривой максимальна.

Пример 9

Определить наименьший радиус кривизны экспоненциальной функции \(y = {e^x}.\) Экспоненциальная функция \(y = {e^x}\) − это единственная уникальная функция, у которой производные любого порядка равны самой функции. Поэтому для кривизны данной кривой можно сразу написать следующую формулу: \[ {K = \frac{{\left| {y''} \right|}}{{{{\left[ {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{{e^x}}}{{{{\left( {1 + {e^{2x}}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}.} \] Знак модуля в числителе опущен, поскольку экспоненциальная функция всегда положительна. Радиус кривизны, соответственно, равен \[R = \frac{1}{K} = \frac{{{{\left( {1 + {e^{2x}}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{{e^x}}}.\] Величина \(R\) зависит от координаты \(x.\) Следовательно, рассматривая \(R\) как функцию от \(x,\) можно исследовать ее на экстремальное значение. Вычислим производную \(R'\left( x \right):\) \[ {R'\left( x \right) = {\left[ {\frac{{{{\left( {1 + {e^{2x}}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{{e^x}}}} \right]^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{{\left( {1 + {e^{2x}}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right)}^\prime }{e^x} - {{\left( {1 + {e^{2x}}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}{{\left( {{e^x}} \right)}^\prime }}}{{{e^{2x}}}} } = {\frac{{\frac{3}{2}{{\left( {1 + {e^{2x}}} \right)}^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} \cdot 2{e^{2x}} \cdot {e^x} - {{\left( {1 + {e^{2x}}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} \cdot {e^x}}}{{{e^{2x}}}} } = {\frac{{{e^x}{{\left( {1 + {e^{2x}}} \right)}^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}\left[ {3{e^{2x}} - \left( {1 + {e^{2x}}} \right)} \right]}}{{{e^{2x}}}} } = {\frac{{{{\left( {1 + {e^{2x}}} \right)}^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}\left( {2{e^{2x}} - 1} \right)}}{{{e^x}}}.} \] Функция \(R\left( x \right)\) имеет лишь одну критическую точку: \[ {R'\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 2{e^{2x}} - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {e^{2x}} = \frac{1}{2},}\;\; {\Rightarrow 2x = \ln \frac{1}{2} = - \ln 2,}\;\; {\Rightarrow x = - \frac{{\ln 2}}{2} \approx - 0,35.} \] Слева от этого значения производная \(R'\left( x \right)\) отрицательна, а справа − положительна. Поэтому найденная точка является точкой минимума функции \(R\left( x \right).\) В этой точке радиус кривизны экспоненты является минимальным. Численно он равен: \[ {{R_{\min }} = R\left( { - \frac{{\ln 2}}{2}} \right) } = {\frac{{{{\left[ {1 + {e^{2 \cdot \left( { - \large\frac{{\ln 2}}{2}\normalsize} \right)}}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{{e^{ - \large\frac{{\ln 2}}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{{{\left[ {1 + {e^{\ln \large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{{e^{\ln \large\frac{1}{{\sqrt 2 }}\normalsize}}}} } = {\frac{{{{\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}} } = {\sqrt 2 {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} \approx 2,60.} \]

Пример 10

Найти наименьший радиус кривизны кубической параболы \(y = {x^3}.\) Поскольку \[ {y' = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2},}\;\;\; {y'' = {\left( {3{x^2}} \right)^\prime } = 6x,} \] то радиус кривизны кубической функции определяется следующим выражением: \[ {R = \frac{{{{\left[ {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\left| {y''} \right|}} } = {\frac{{{{\left[ {1 + {{\left( {3{x^2}} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\left| {6x} \right|}} } = {\frac{{{{\left( {1 + 9{x^4}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\left| {6x} \right|}}.} \] Учитывая, что кубическая парабола симметрична относительно начала координат, далее будем рассматривать лишь участок кривой \(x>0.\) Опуская знак модуля, запишем \(R\) как функцию \(x:\) \[R\left( x \right) = \frac{{{{\left( {1 + 9{x^4}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{6x}}.\] Исследуем ее на экстремум. Находим производную \(R'\left( x \right):\) \[ {R'\left( x \right) = {\left[ {\frac{{{{\left( {1 + 9{x^4}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{6x}}} \right]^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{{\left( {1 + 9{x^4}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right)}^\prime }6x - {{\left( {1 + 9{x^4}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}{{\left( {6x} \right)}^\prime }}}{{36{x^2}}} } = {\frac{{\frac{3}{2}{{\left( {1 + 9{x^4}} \right)}^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} \cdot 36{x^3} \cdot 6x - {{\left( {1 + 9{x^4}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} \cdot 6}}{{36{x^2}}} } = {\frac{{6{{\left( {1 + 9{x^4}} \right)}^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}\left[ {54{x^4} - \left( {1 + 9{x^4}} \right)} \right]}}{{36{x^2}}} } = {\frac{{{{\left( {1 + 9{x^4}} \right)}^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}\left( {45{x^4} - 1} \right)}}{{6{x^2}}}.} \] При \(x>0\) функция имеет лишь одну критическую точку. Вычисления приводят к следующему результату: \[ {45{x^4} - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {x^4} = \frac{1}{{45}},}\;\; {\Rightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[\large 4\normalsize]{{45}}}} \approx 0,39.} \] При переходе через эту точку производная \(R'\left( x \right)\) меняет знак с минуса на плюс. Поэтому данная точка соответствует минимальному радиусу кривизны. Найдем его приближенное значение: \[ {y'\left( {\frac{1}{{\sqrt[\large 4\normalsize]{{45}}}}} \right) = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{{\sqrt[\large 4\normalsize]{{45}}}}} \right)^2} = \frac{3}{{\sqrt {45} }},}\;\;\; {y''\left( {\frac{1}{{\sqrt[\large 4\normalsize]{{45}}}}} \right) = \frac{6}{{\sqrt[\large 4\normalsize]{{45}}}},} \] \[ {\Rightarrow {R_{\min }} = \frac{{{{\left[ {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\left| {y''} \right|}} } = {\frac{{{{\left[ {1 + {{\left( {\frac{3}{{\sqrt {45} }}} \right)}^2}} \right]}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\frac{6}{{\sqrt[\large 4\normalsize]{{45}}}}}} } = {\frac{{{{\left( {1 + \frac{9}{{45}}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\frac{6}{{\sqrt[\large 4\normalsize]{{45}}}}}} } = {{\left( {\frac{{54}}{{45}}} \right)^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} \cdot \frac{{\sqrt[\large 4\normalsize]{{45}}}}{6} } = {\frac{{{2^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} \cdot {{\left( {{3^3}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} \cdot {5^{\large\frac{1}{4}\normalsize}} \cdot {{\left( {{3^2}} \right)}^{\large\frac{1}{4}\normalsize}}}}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} \cdot {5^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} \cdot 2 \cdot 3}} } = {\frac{{{2^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} \cdot 3}}{{{5^{\large\frac{5}{4}\normalsize}}}} } = {\frac{3}{5}\sqrt[\large 4\normalsize]{{\frac{4}{5}}} \approx 0,57.} \]