Кривая обучения
Освоение новой темы и приобретение новых навыков всегда требует времени. В данном разделе мы попробуем смоделировать процесс обучения, используя дифференциальные уравнения.
Прежде всего, введем некоторую измеряемую функцию обучения \(L\left( t \right).\) Эта функция может описывать,
например, текущую производительность труда работника. Пусть \({L_{\max }}\) будет являться максимально возможным значением \(L\left( t \right).\)
Во многих случая справедливо следующее эмпирическое правило: скорость обучения пропорциональна объему оставшегося (еще невыученного) материала. Математически это представляется уравнением вида
\[\frac{{dL}}{{dt}} = k\left( {{L_{\max }} - L} \right),\]
где \(k\) − коэффициент пропорциональности.
Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, и его легко можно решить в общем виде:
\[
{\frac{{dL}}{{dt}} = k\left( {{L_{\max }} - L} \right),}\;\;
{\Rightarrow \frac{{dL}}{{{L_{\max }} - L}} = kdt,}\;\;
{\Rightarrow \int {\frac{{dL}}{{{L_{\max }} - L}}} = \int {kdt} ,}\;\;
{\Rightarrow - \int {\frac{{d\left( {{L_{\max }} - L} \right)}}{{{L_{\max }} - L}}} = \int {kdt} ,}\;\;
{\Rightarrow - \ln \left( {{L_{\max }} - L} \right) = kt + \ln C,}\;\;
{\Rightarrow \ln \left( {{L_{\max }} - L} \right) = - kt + \ln C,}\;\;
{\Rightarrow \ln \left( {{L_{\max }} - L} \right) = \ln {e^{ - kt}} + \ln C.}
\]
Избавляясь от логарифмов, получаем общее решение в форме:
\[{L_{\max }} - L = C{e^{ - kt}}.\]
Постоянную \(C\) можно определить из начального условия: \(L\left( {t = 0} \right) = M.\) Следовательно, \(C = {L_{\max }} - M.\)
Врезультате кривая обучения описывается формулой
\[L\left( t \right) = {L_{\max }} - \left( {{L_{\max }} - M} \right){e^{ - kt}}.\]
В последнем выражении параметр \(M\) означает начальный уровень знаний или навыков. В простейшем случае можно предположить, что
\(M = 0.\) Другой параметр \(k\) "контролирует" скорость обучения. Вид кривых обучения при различных значениях \(M\) и \(k\) показан на рисунках
\(1\) и \(2,\) соответственно.
Как видно, кривая обучения \(L\) во всех случаях быстрее возрастает в начале процесса, а затем по мере снижения скорости обучения кривая приближается к максимальному
значению \({L_{\max }}.\)
Рис.1
Рис.2
Пример 1
Фармацевт в некоторой аптеке должен проверять \(1000\) рецептов в день. Новый фармацевт после найма на работу через \(1\) неделю смог проверить \(100\) рецептов в день.
Оценить число рецептов, которые фармацевт сможет проверить в течение дня еще через одну неделю.
Решение.
Для простоты положим начальный уровень навыка равным нулю: \(M = 0.\) Процесс обучения можно описать следующим законом:
\[L\left( t \right) = {L_{\max }}\left( {1 - {e^{ - kt}}} \right).\]
Определим параметр \(k,\) зная количество рецептов, которые проверяются через \(1\) неделю:
\[
{100 = 1000\left( {1 - {e^{ - kt}}} \right),}\;\;
{\Rightarrow 1 - {e^{ - kt}} = 0.1,}\;\;
{\Rightarrow {e^{ - kt}} = 0.9,}\;\;
{\Rightarrow - kt = \ln 0.9,}\;\;
{\Rightarrow k = - \frac{{\ln 0.9}}{t}.}
\]
Подставляя \(t = 1\,\text{неделя},\) находим:
\[k = - \frac{{\ln 0.9}}{1} \approx - 0.105\]
Теперь можно вычислить производительность нового фармацевта спустя две недели после начала работы:
\[
{L\left( {t = 2} \right) = 1000\left( {1 - {e^{ - 0.105 \cdot 2}}} \right) }
= {1000\left( {1 - {e^{ - 0.21}}} \right) }
\approx {1000\left( {1 - 0.811} \right) }
= {189\left[ {\frac{\text{рецептов}}{\text{день}}} \right].}
\]
Пример 2
Предположим, что новость распространяется в средствах массовой информации по закону, описываемому кривой обучения.
Каков должен быть первоначальный процент "популяции", осведомленных об этой новости, так чтобы через \(1\) неделю это уровень
достигнул \(50\%,\) а через \(4\) недели − \(90\%?\)
Решение.
Новость распространяется по закону:
\[L\left( t \right) = {L_{\max }} - M{e^{ - kt}}.\]
Мы знаем две точки на этой кривой: в моменты времени \(t = 1\,\text{неделя}\) и \(t = 4\,\text{недели}.\)
Поэтому, можно записать следующие два уравнения:
\[\left\{ \begin{array}{l}
L\left( {t = 1} \right) = 0.5{L_{\max }} = {L_{\max }} - r{L_{\max }}{e^{ - k \cdot 1}}\\
L\left( {t = 4} \right) = 0.9{L_{\max }} = {L_{\max }} - r{L_{\max }}{e^{ - k \cdot 4}}
\end{array} \right..\]
Здесь параметр \(M\) представлен как \(r{L_{\max }},\) где \(r\) лежит в интервале \(0 \le r \le 1,\)
а время \(t\) выражено в неделях.
Разделив на \({L_{\max }},\) получаем систему уравнений с двумя неизвестными: \(r\) и \(k:\)
\[\left\{ \begin{array}{l}
0.5 = 1 - r{e^{ - k}}\\
0.9 = 1 - r{e^{ - 4k}}
\end{array} \right.,\;\; \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
r{e^{ - k}} = 0.5\\
r{e^{ - 4k}} = 0.1
\end{array} \right..\]
Возьмем логарифмы от обеих частей каждого уравнения:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\ln r - k = \ln 0.5\\
\ln r - 4k = \ln 0.1
\end{array} \right..\]
Исключим параметр \(k\) из системы, умножая первое уравнение на \(\left( { - 4} \right)\) и затем складывая оба уравнения:
\[
{\left. {\left\{ \begin{array}{l}
- 4\ln r + 4k = - 4\ln 0.5\\
\ln r - 4k = \ln 0.1
\end{array} \right.} \right| + ,}\;\;
{\Rightarrow - 3\ln r = \ln 0.1 - 4\ln 0.5,}\;\;
{\Rightarrow \ln r = \frac{1}{3}\left( {4\ln 0.5 - \ln 0.1} \right).}
\]
В результате простых вычислений получаем ответ:
\[
{\ln r = \frac{1}{3}\left( {4\ln 0.5 - \ln 0.1} \right) }
\approx {\frac{1}{3}\left[ {4 \cdot \left( { - 0.693} \right) - \left( { - 2.302} \right)} \right] }
= {\frac{1}{3}\left( { - 0.469} \right) }
= { - 0.156}
\]
Отсюда следует, что параметр \(r\) равен
\[r = {e^{ - 0.156}} \approx 0.855\]
Таким образом, в данном случае начальный уровень "проникновения" новости должен составлять
\[
{L\left( {t = 0} \right) = {L_{\max }} - r{L_{\max }} }
= {{L_{\max }} - 0.855{L_{\max }} }
= {0.145{L_{\max }} }
\approx {15\% {L_{\max }}.}
\]