Комплексная форма рядов Фурье
Пусть функция \(f\left( x \right)\) определена в интервале \(\left[ { - \pi ,\pi } \right].\)
Применяя формулы Эйлера
\[
{\cos \varphi = \frac{{{e^{i\varphi }} + {e^{ - i\varphi }}}}{2},}\;\;
{\sin \varphi = \frac{{{e^{i\varphi }} - {e^{ - i\varphi }}}}{{2i}},}
\]
можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме:
\[
{f\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_n}\cos nx + {b_n}\sin nx} \right)} }
= {\frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{a_n}\frac{{{e^{inx}} + {e^{ - inx}}}}{2} + {b_n}\frac{{{e^{inx}} - {e^{ - inx}}}}{{2i}}} \right)} }
= {\frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n} - i{b_n}}}{2}{e^{inx}}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n} + i{b_n}}}{2}{e^{ - inx}}} }
= {\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{c_n}{e^{inx}}} .}
\]
Мы использовали здесь следующие обозначения:
\[
{{c_0} = \frac{{{a_0}}}{2},}\;\;
{{c_n} = \frac{{{a_n} - i{b_n}}}{2},}\;\;
{{c_{ - n}} = \frac{{{a_n} + i{b_n}}}{2}.}
\]
Коэффициенты \({c_n}\) называются комплексными коэффициентами Фурье.
Они определяются формулами
\[{c_n} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right){e^{ - inx}}dx} ,\;\;n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]
Если нужно построить продолжение функции \(f\left( x \right),\) имеюшей произвольный период \(2L,\)
то соответствующее выражение в комплексной форме имеет вид:
\[f\left( x \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{c_n}{e^{\frac{{in\pi x}}{L}}}} ,\]
где
\[{c_n} = \frac{1}{{2L}}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right){e^{ - \frac{{in\pi x}}{L}}}dx} ,\;\;n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]
Комплексная форма ряда Фурье алгебраически проще и более симметрична. Поэтому, она часто используется в физике и прикладных расчетах.
Пример 1
Используя комплексную форму записи, найти разложение в ряд Фурье функции
\[
f\left( x \right) = \text{sign}\,x =
\begin{cases}
-1, & -\pi \le x \le 0 \\
1, & 0<x \le \pi
\end{cases}.
\]
Решение.
Вычислим коэффициенты \({c_0}\) и \({c_n}\) (при \(n \ne 0\)):
\[\require{cancel}
{{c_0} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right)dx} }
= {\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\int\limits_{ - \pi }^0 {\left( { - 1} \right)dx} + \int\limits_0^\pi {dx} } \right] }
= {\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\left. {\left( { - x} \right)} \right|_{ - \pi }^0 + \left. x \right|_0^\pi } \right] }
= {\frac{1}{{2\pi }}\left( { - \cancel{\pi} + \cancel{\pi }} \right) = 0,}
\]
\[
{{c_n} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right){e^{ - inx}}dx} }
= {\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\int\limits_{ - \pi }^0 {\left( { - 1} \right){e^{ - inx}}dx} + \int\limits_0^\pi {{e^{ - inx}}dx} } \right] }
= {\frac{1}{{2\pi }}\left[ { - \frac{{\left. {\left( {{e^{ - inx}}} \right)} \right|_{ - \pi }^0}}{{ - in}} + \frac{{\left. {\left( {{e^{ - inx}}} \right)} \right|_0^\pi }}{{ - in}}} \right] }
= {\frac{i}{{2\pi n}}\left[ { - \left( {1 - {e^{in\pi }}} \right) + {e^{ - in\pi }} - 1} \right] }
= {\frac{i}{{2\pi n}}\left[ {{e^{in\pi }} + {e^{ - in\pi }} - 2} \right] }
= {\frac{i}{{\pi n}}\left[ {\frac{{{e^{in\pi }} + {e^{ - in\pi }}}}{2} - 1} \right] }
= {\frac{i}{{\pi n}}\left[ {\cos n\pi - 1} \right] }
= {\frac{i}{{\pi n}}\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^n} - 1} \right].}
\]
Если \(n = 2k,\) то \({c_{2k}} = 0.\)
Если \(n = 2k - 1,\) то \({c_{2k - 1}} = - \large\frac{{2i}}{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}\normalsize.\)
Следовательно, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид:
\[
{f\left( x \right) = \text{sign}\,x }
= { - \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\frac{1}{{2k - 1}}{e^{i\left( {2k - 1} \right)x}}} .}
\]
Данный ряд можно преобразовать и записать в действительных переменных. Обозначим:
\(n = 2k - 1,\;n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \) Тогда
\[
{f\left( x \right) = \text{sign}\,x }
= { - \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\frac{1}{{2k - 1}}{e^{i\left( {2k - 1} \right)x}}} }
= { - \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\frac{{{e^{inx}}}}{n}} }
= { - \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{e^{ - inx}}}}{{ - n}} + \frac{{{e^{inx}}}}{n}} \right)} }
= {\frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{inx}} - {e^{ - inx}}}}{{2in}}} }
= {\frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin nx}}{n}} }
= {\frac{4}{\pi }\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\sin \left( {2k - 1} \right)x}}{{2k - 1}}} .}
\]
График функции и ее ряд Фурье при \(n = 5\) и \(n = 50\) показаны на рисунке \(1.\)


Рис.1,
n = 5,
n = 50
Рис.2,
n = 2,
n = 5
Пример 2
Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции \(f\left( x \right) = {x^2},\) заданной в интервале \(\left[ { - 1,1} \right].\)
Решение.
Здесь полупериод равен \(L = 1.\) Поэтому \({c_0}\) равен
\[
{{c_0} = \frac{1}{{2L}}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)dx} }
= {\frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} }
= {\frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^1} \right] }
= {\frac{1}{6}\left[ {{1^3} - {{\left( { - 1} \right)}^3}} \right] }
= {\frac{1}{3}.}
\]
Для \(n \ne 0\) получаем
\[
{{c_n} = \frac{1}{{2L}}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right){e^{ - \frac{{in\pi x}}{L}}}dx} }
= {\frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{e^{ - {in\pi x}}}dx} .}
\]
Дважды интегрируя по частям, находим
\[
{{c_n} = \frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}{e^{ - in\pi x}}}}{{ - in\pi }}} \right)} \right|_{ - 1}^1 - \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{2x{e^{ - in\pi x}}}}{{ - in\pi }}dx} } \right] }
= {\frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}{e^{ - in\pi x}}}}{{ - in\pi }}} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \frac{2}{{in\pi }}\int\limits_{ - 1}^1 {x{e^{ - in\pi x}}dx} } \right] }
= {\frac{1}{2}\left\{ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}{e^{ - in\pi x}}}}{{ - in\pi }}} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \frac{2}{{in\pi }}\left[ {\left. {\left( {\frac{{x{e^{ - in\pi x}}}}{{ - in\pi }}} \right)} \right|_{ - 1}^1 - \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{e^{ - in\pi x}}}}{{ - in\pi }}dx} } \right]} \right\} }
= { - \frac{1}{{2in\pi }}\left[ {\left. {\left( {{x^2}{e^{ - in\pi x}} + \frac{2}{{in\pi }}x{e^{ - in\pi x}} + \frac{2}{{{{\left( {in\pi } \right)}^2}}}{e^{ - in\pi x}}} \right)} \right|_{ - 1}^1} \right] }
= {- \frac{1}{{2in\pi }}\left[ {{e^{ - in\pi }} + \frac{2}{{in\pi }}{e^{ - in\pi }} + \frac{2}{{{{\left( {in\pi } \right)}^2}}}{e^{ - in\pi }}} \right. }
+ {\left. {\frac{2}{{in\pi }}{e^{in\pi }} - \frac{2}{{{{\left( {in\pi } \right)}^2}}}{e^{in\pi }}} \right] }
= {\frac{1}{{2in\pi }}\left[ {{e^{in\pi }} - {e^{ - in\pi }} - \frac{2}{{in\pi }}\left( {{e^{in\pi }} + {e^{ - in\pi }}} \right)} \right. }
+ {\left. {\frac{2}{{{{\left( {in\pi } \right)}^2}}}\left( {{e^{in\pi }} - {e^{ - in\pi }}} \right)} \right] }
= {\frac{1}{{n\pi }} \cdot \frac{{{e^{in\pi }} - {e^{ - in\pi }}}}{{2i}} }
+ {\frac{2}{{{n^2}{\pi ^2}}} \cdot \frac{{{e^{in\pi }} + {e^{ - in\pi }}}}{2} }
- {\frac{2}{{{n^3}{\pi ^3}}} \cdot \frac{{{e^{in\pi }} - {e^{ - in\pi }}}}{{2i}} }
= {\frac{1}{{n\pi }} \cdot \sin n\pi + \frac{2}{{{n^2}{\pi ^2}}}\cos n\pi - \frac{2}{{{n^3}{\pi ^3}}}\sin n\pi .}
\]
Подставляя \(\sin n\pi = 0\) и \(\cos n\pi = {\left( { - 1} \right)^n},\) получаем компактное выражение для коэффициентов \({c_n}:\)
\[{c_n} = \frac{2}{{{n^2}{\pi ^2}}}{\left( { - 1} \right)^n}.\]
Таким образом, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид
\[
{f\left( x \right) = {x^2} }
= {\frac{1}{3} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{2}{{{n^2}{\pi ^2}}}{{\left( { - 1} \right)}^n}{e^{in\pi x}}} }
+ {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{2}{{{{\left( { - n} \right)}^2}{\pi ^2}}}{{\left( { - 1} \right)}^{ - n}}{e^{ - in\pi x}}} .}
\]
Учитывая, что \({\left( { - 1} \right)^{ - n}} = {\left( { - 1} \right)^n},\) можно окончательно записать
\[
{f\left( x \right) = {x^2} }
= {\frac{1}{3} + \frac{4}{{{\pi ^2}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\frac{{{e^{in\pi x}} + {e^{ - in\pi x}}}}{2}} }
= {\frac{1}{3} + \frac{4}{{{\pi ^2}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\cos n\pi x} .}
\]
График данной функции и ее аппроксимации Фурье приведены ни рисунке \(2\) (выше).
Пример 3
Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции
\[f\left( x \right) = \frac{{a\sin x}}{{1 - 2a\cos x + {a^2}}},\;\;\left| a \right|<1.\]
Решение.
Применим формулы
\[
{\cos x = \frac{{{e^{ix}} + {e^{ - ix}}}}{2},}\;\;
{\sin x = \frac{{{e^{ix}} - {e^{ - ix}}}}{{2i}}.}
\]
В результате функция принимает вид
\[
{f\left( x \right) = \frac{{a \cdot \frac{{{e^{ix}} - {e^{ - ix}}}}{{2i}}}}{{1 - 2a \cdot \frac{{{e^{ix}} + {e^{ - ix}}}}{2} + {a^2}}} }
= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} - {e^{ - ix}}} \right)}}{{1 - a\left( {{e^{ix}} + {e^{ - ix}}} \right) + {a^2}}} }
= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} - {e^{ - ix}}} \right)}}{{1 - a{e^{ix}} - a{e^{ - ix}} + {a^2}{e^{ix}}{e^{ - ix}}}} }
= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} - {e^{ - ix}}} \right)}}{{\left( {1 - a{e^{ix}}} \right) - a{e^{ - ix}}\left( {1 - a{e^{ix}}} \right)}} }
= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} - {e^{ - ix}}} \right)}}{{\left( {1 - a{e^{ix}}} \right)\left( {1 - a{e^{ - ix}}} \right)}}.}
\]
Разложим последнее выражение на сумму простых рациональных дробей.
\[
{f\left( x \right) = \frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} - {e^{ - ix}}} \right)}}{{\left( {1 - a{e^{ix}}} \right)\left( {1 - a{e^{ - ix}}} \right)}} }
= {\frac{1}{{2i}}\left( {\frac{A}{{1 - a{e^{ix}}}} + \frac{B}{{1 - a{e^{ - ix}}}}} \right).}
\]
Определим коэффициенты \(A, B:\)
\[
{A\left( {1 - a{e^{ - ix}}} \right) + B\left( {1 - a{e^{ix}}} \right) = a{e^{ix}} - a{e^{ - ix}},}\;\;
{\Rightarrow A - aA{e^{ - ix}} + B - aB{e^{ix}} = a{e^{ix}} - a{e^{ - ix}},}\;\;
{\Rightarrow A = 1,\;B = - 1.}
\]
В результате функцию \(f\left( x \right)\) можно записать в виде
\[f\left( x \right) = \frac{1}{{2i}}\left( {\frac{1}{{1 - a{e^{ix}}}} - \frac{1}{{1 - a{e^{ - ix}}}}} \right).\]
При этом
\[
{\left| {a{e^{ix}}} \right| = \left| a \right|\left| {{e^{ix}}} \right| }
= {\left| a \right|\sqrt {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} }
= {\left| a \right|<1.}
\]
И такой же результат справедлив для сопряженного выражения:
\[\left| {a{e^{ - ix}}} \right| = \left| {a{e^{ix}}} \right| = \left| a \right|<1.\]
Представляя дроби в виде степенных рядов, получаем
\[\frac{1}{{1 - a{e^{ix}}}} = {\left( {1 - a{e^{ix}}} \right)^{ - 1}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}{e^{inx}}} ,\]
\[\frac{1}{{1 - a{e^{ - ix}}}} = {\left( {1 - a{e^{ - ix}}} \right)^{ - 1}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}{e^{ - inx}}} .\]
Таким образом, разложение функции \(f\left( x \right)\) в ряд Фурье имеет вид
\[
{f\left( x \right) = \frac{1}{{2i}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}\left( {{e^{inx}} - {e^{ - inx}}} \right)} }
= {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}\sin nx} .}
\]
Поскольку \(\sin nx = 0\) при \(n = 0,\) то окончательный ответ будет
\[f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a^n}\sin nx} .\]