Колебания в электрических цепях
Дифференциальные уравнения RLC-цепей
В электрической цепи, содержащей сопротивление \(R\), индуктивность \(L\)
и емкость \(C\), могут возбуждаться электрические колебания. С точки зрения топологии
чаще всего рассматриваются два вида электрических цепей: последовательная \(RLC\)-цепь (рисунок \(1\)) и
параллельная \(RLC\)-цепь (рисунок \(2\)).


Рис.1
Рис.2
Простейший колебательный контур. Формула Томсона
В простейшем случае, когда омическое сопротивление равно нулю (\(R = 0\)) и источник
э.д.с. отсутствует (\(E = 0\)), колебательный контур состоит лишь из конденсатора\(C\) и катушки индуктивности\(L\)
и описывается дифференциальным уравнением
\[\frac{{{d^2}I}}{{d{t^2}}} + \omega _0^2I = 0,\;\; \text{где}\;\;\omega _0^2 = \frac{1}{{LC}}.\]
В таком контуре будут происходить
незатухающие электрические колебания с периодом
\[{T_0} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _0}}} = 2\pi \sqrt {LC} .\]
Данная формула называется формулой Томсона в честь английского физика Уильяма Томсона (\(1824-1907\)),
который теоретически вывел ее в \(1853\) году.
Затухающие колебания в последовательной \(RLC\)-цепи
Выше мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее
затухающие колебания в последовательном \(RLC\)-контуре, которое записывается как
\[\frac{{{d^2}I}}{{d{t^2}}} + \frac{R}{L}\frac{{dI}}{{dt}} + \frac{1}{{LC}}I = 0.\]
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
\[{\lambda ^2} + \frac{R}{L}\lambda + \frac{1}{{LC}} = 0.\]
Его корни вычисляются по формулам:
\[
{{\lambda _{1,2}} = \frac{{ - \frac{R}{L} \pm \sqrt {\frac{{{R^2}}}{{{L^2}}} - \frac{4}{{LC}}} }}{2} }
= { - \frac{R}{{2L}} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{R}{{2L}}} \right)}^2} - \frac{1}{{LC}}} }
= { - \beta \pm \sqrt {{\beta ^2} - \omega _0^2} ,}
\]
где величина \(\beta = \large\frac{R}{{2L}}\normalsize\) называется коэффициентом затухания, а
\({\omega_0}\) − резонансной частотой колебательного контура.
В зависимости от значений параметров \(R, L, C\) могут возникнуть три режима.
Случай 1. \({R^2}>\large\frac{{4L}}{C}\normalsize\)
В этом случае оба корня характеристического уравнения \({\lambda_1}\) и \({\lambda_2}\) действительны, различны и отрицательны.
Общее решение дифференциального уравнения определяется формулой
\[I\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}} + {C_2}{e^{{\lambda _2}t}}.\]
В этом режиме ток монотонно уменьшается, приближаясь к нулю (рисунок \(3\)).
Случай 2. \({R^2} = \large\frac{{4L}}{C}\normalsize\)
Данный режим можно назвать граничным
или критическим. Здесь оба корня характеристического уравнения
совпадают, но при этом являются действительными и отрицательными. Общее решение уравнения выражается функцией
\[
{I\left( t \right) = \left( {{C_1}t + {C_2}} \right){e^{ - \beta t}} }
= {\left( {{C_1}t + {C_2}} \right){e^{ - {\large\frac{R}{{2L}}\normalsize} t}}.}
\]
В начале процесса ток может даже возрастать, но в дальнейшем он быстро уменьшается по экспоненциальному закону.
Случай 3. \({R^2}<\large\frac{{4L}}{C}\normalsize\)
В этом случае корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными. В электрической цепи возникают
затухающие колебания. Закон изменения тока имеет вид
\[I\left( t \right) = {e^{ - \beta t}}\left( {A\cos \omega t + B\sin \omega t} \right),\]
где величина \(\beta = \large\frac{R}{{2L}}\normalsize\) − как и выше, коэффициент затухания,
\(\omega = \sqrt {{\large\frac{1}{{LC}}\normalsize} - {{\left( {\large\frac{R}{{2L}}\normalsize} \right)}^2}} \) − частота колебаний,
\(A, B\) − постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий. Заметим, что частота затухающих колебаний\(\omega\) меньше резонансной
частоты \({\omega_0}\) колебательного контура. Типичный вид кривой \(I\left( t \right)\) в этом режиме также представлен на рисунке\(3.\)


Рис.3
Рис.4
Вынужденные колебания и резонанс
Если колебательный контур содержит генератор с периодически изменяющейся э.д.с., то в нем устанавливаются
вынужденные колебания. Если э.д.с.\(E\) источника тока изменяется по закону
\[E\left( t \right) = {E_0}\cos \omega t,\]
то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в последовательной \(RLC\)-цепи записывается в виде
\[
{\frac{{{d^2}q\left( t \right)}}{{d{t^2}}} + \frac{R}{L}\frac{{dq\left( t \right)}}{{dt}} + \frac{1}{{LC}}q\left( t \right) = \frac{1}{L}{E_0}\cos \omega t}\;\;
{\text{или}\;\;\frac{{{d^2}q}}{{d{t^2}}} + 2\beta \frac{{dq}}{{dt}} + \omega _0^2q = \frac{{{E_0}}}{L}\cos \omega t,}
\]
где \(q\) − заряд конденсатора, \(2\beta = \frac{R}{L},\;\omega _0^2 = \frac{1}{{LC}}.\)
Данное уравнение аналогично уравнению вынужденных колебаний пружинного маятника, рассмотренного на странице
Механические колебания.
Его общее решение представляет собой сумму двух слагаемых − общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
При этом общее решение однородного уравнения описывает затухающий переходный процесс, по истечении которого в системе
устанавливаются вынужденные колебания. Эти вынужденные колебания будут
происходить по закону
\[
{q\left( t \right) }
= {\frac{{{E_0}}}{{L\sqrt {{{\left( {\omega _0^2 - {\omega ^2}} \right)}^2} + 4{\beta ^2}{\omega ^2}} }}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) }
= {\frac{{{E_0}}}{{\omega \sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right),}
\]
где фаза \(\varphi\) определяется формулой
\[
{\varphi = \arctan \left( { - \frac{{2\beta \omega }}{{\omega _0^2 - {\omega ^2}}}} \right) }
= {\arctan \frac{R}{{\omega L - \frac{1}{{\omega C}}}}.}
\]
Зная закон изменения заряда \(q\left( t \right),\) легко найти закон изменения тока \(I\left( t \right):\)
\[
{I\left( t \right) = \frac{{dq\left( t \right)}}{{dt}} }
= { - \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }}\sin\left( {\omega t + \varphi } \right) }
= {\frac{{{E_0}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }}\cos\left( {\omega t - \theta } \right),}
\]
где введен угол \(\theta,\) равный \(\theta = - \left( {\varphi + \frac{\pi }{2}} \right).\) Угол \(\theta\) показывает отставание колебаний тока
\(I\left( t \right)\) по отношению к колебаниям напряжения источника питания \(E\left( t \right) = {E_0}\cos \omega t.\)
Амплитуда тока \({I_0}\) и сдвиг фаз \(\theta\) определяются формулами
\[
{{I_0} = \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }} = \frac{{{E_0}}}{Z},}\;\;\;
{\theta = \arctan \frac{{\omega L - \frac{1}{{\omega C}}}}{R}.}
\]
Величина \(Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \large\frac{1}{{\omega C}}\normalsize} \right)}^2}} \)
называется полным сопротивлением
или импедансом контура. Она состоит из омического сопротивления\(R\) и
реактивного сопротивления\({\omega L - \large\frac{1}{{\omega C}}}\normalsize\)
Импеданс колебательного контура в комплексной форме записывается как
\[Z = R + i\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right).\]
Из полученных формул видно, что амплитуда установившихся колебаний тока будет максимальной когда
\[\omega L = \frac{1}{{\omega C}}\;\;\text{или}\;\;\omega = {\omega _0} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}.\]
При этом условии в колебательном контуре наступает резонанс. Резонансная
частота\({\omega_0}\) равна частоте свободных колебаний в контуре и не зависит от сопротивления\(R.\)
Формулу для амплитуды тока вынужденных колебаний можно преобразовать, выделив в явном виде зависимость от отношения частот
\(\large\frac{\omega }{{{\omega _0}}}\normalsize,\) где \({\omega_0}\) − резонансная частота. В результате получаем
\[\require{cancel}
{{I_0} = \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }} }
= {\frac{{\frac{{{E_0}}}{{{\omega _0}}}}}{{\frac{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }}{{{\omega _0}}}}} }
= {\frac{{\frac{{{E_0}}}{{{\omega _0}}}}}{{\sqrt {\frac{{{R^2}}}{{\omega _0^2}} + {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}L - \frac{1}{{\omega {\omega _0}C}}} \right)}^2}} }} }
= {\frac{{{E_0}\sqrt {LC} }}{{\sqrt {{R^2}LC + {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}L - \frac{1}{{\frac{\omega }{{{\omega _0}}}\frac{\cancel{C}}{{L\cancel{C}}}}}} \right)}^2}} }} }
= {\frac{{{E_0}\sqrt {LC} }}{{\sqrt {{R^2}LC + {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}L - \frac{L}{{\frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}} \right)}^2}} }} }
= {\frac{{{E_0}\sqrt C }}{{\sqrt {{R^2}C + {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{1}{{\frac{\omega }{{{\omega _0}}}}}} \right)}^2}} }}.}
\]
Типичные зависимости амплитуды тока от отношения частот \(\large\frac{\omega }{{{\omega _0}}}\normalsize\)
при различных значениях \(R\) и \(C\) показаны на рисунках \(5\) и \(6.\) Данные графики построены при
\(E = 100\;\text{В},\) \(L = 1\;\text{мГн},\) \(C = 10\;\text{мкФ}\) (на рисунке \(5\)), \(R = 10\;\text{Ом}\) (на рисунке \(6\)).


Рис.5
Рис.6
Пример 1
Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных резистора сопротивлением \(R = 100\;\text{Ом}\)
и катушки с индуктивностью \(L = 50\;\text{Гн}.\) В момент \(t = 0\) подключается источник постоянного напряжения \({V_0} = 200\;\text{В}.\)
Найти:
Закон изменения тока в цепи \(I\left( t \right)\);
Закон изменения напряжения на резисторе \({V_R}\left( t \right)\) и на катушке индуктивности \({V_L}\left( t \right)\).
Решение.
Последовательная \(RL\)-цепь описывается дифференциальным уравнением
\[L\frac{{dI}}{{dt}} + RI = {V_0}.\]
В соответствии с общей теорией, решением данного уравнения является сумма общего решения
однородного уравнения \({I_0}\) и частного решения неоднородного уравнения \({I_1}:\) \(I = {I_0} + {I_1}.\)
Общее решение однородного уравнения
\[L\frac{{dI}}{{dt}} + RI = 0\]
выражается функцией
\[{I_0}\left( t \right) = A{e^{ - \frac{R}{L}t}},\]
где \(A\) − постоянная интегрирования.
Решение неоднородного уравнения \({I_1}\) соответствует установившемуся режиму, при котором ток в цепи определяется лишь
омическим сопротивлением\(R:\) \({I_1} = \frac{{{V_0}}}{R}.\) Тогда полный ток будет изменяться по закону
\[I\left( t \right) = {I_0} + {I_1} = A{e^{ - \frac{R}{L}t}} + \frac{{{V_0}}}{R}.\]
Постоянная \(A\) определяется из начального условия \(I\left( {t = 0} \right) = 0.\) Следовательно,
\[
{0 = A{e^{ - \frac{R}{L} \cdot 0}} + \frac{{{V_0}}}{R},}\;\;
{\Rightarrow A = - \frac{{{V_0}}}{R}.}
\]
Итак, после замыкания цепи ток будет изменяться по закону
\[
{I\left( t \right) = - \frac{{{V_0}}}{R}{e^{ - \frac{R}{L}t}} + \frac{{{V_0}}}{R} }
= {\frac{{{V_0}}}{R}\left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L}t}}} \right) }
= {\frac{{200}}{{100}}\left( {1 - {e^{ - \frac{{100}}{{50}}t}}} \right) }
= {2\left( {1 - {e^{ - 2t}}} \right)\;\left[ \text{A} \right].}
\]
График \(I\left( t \right)\) показан на рисунке \(7.\)
Напряжения на резисторе \({V_R}\) и на катушке индуктивности \({V_L}\) определяются следующими формулами:
\[
{{V_R}\left( t \right) = I\left( t \right)R = {V_0}\left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L}t}}} \right) }
= {200\left( {1 - {e^{ - 2t}}} \right)\;\left[ \text{В} \right],}
\]
\[
{{V_L}\left( t \right) = L\frac{{dI\left( t \right)}}{{dt}} }
= {\frac{{L{V_0}}}{R}\frac{d}{{dt}}\left( {1 - {e^{ - \frac{R}{L}t}}} \right) }
= {\frac{{\cancel{L}{V_0}}}{\cancel{R}} \cdot \frac{\cancel{R}}{\cancel{L}}{e^{ - \frac{R}{L}t}} }
= {{V_0}{e^{ - \frac{R}{L}t}} }
= {200{e^{ - 2t}}\;\left[ \text{В} \right].}
\]
Графики функций \({V_R}\left( t \right)\) и \({V_L}\left( t \right)\) приведены на рисунке \(8.\)


Рис.7
Рис.8
Пример 2
Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных резистора сопротивлением \(R = 100\;\text{Ом}\) и конденсатора \(C = 0.01\;\text{мкФ}.\)
В начальный момент подключается источник постоянного напряжения \({V_0} = 200\;\text{В}.\)
Найти:
Закон изменения тока в цепи \(I\left( t \right)\);
Закон изменения напряжения на резисторе \({V_R}\left( t \right)\) и конденсаторе \({V_C}\left( t \right)\).
Решение.
Эта задача похожа на предыдущую и отличается от нее лишь типом электрической цепи. В данной задаче рассматривается \(RC\)-цепь.
Согласно \(2\)-му закону Кирхгофа
\[{V_R}\left( t \right) + {V_C}\left( t \right) = {V_0},\]
где напряжение на резисторе равно
\[{V_R}\left( t \right) = I\left( t \right)R = RC\frac{{d{V_C}}}{{dt}}.\]
В результате получаем следующее дифференциальное уравнение для описания переходного процесса в \(RC\)-цепи:
\[RC\frac{{d{V_C}}}{{dt}} + {V_C} = {V_0}.\]
Решение этого уравнения представляется в виде суммы общего решения однородного уравнения \(V_\text{одн}\) и
частного решения неоднородного уравнения \({V_1}.\) Однородное уравнение имеет общее решение в виде
\[
{RC\frac{{d{V_C}}}{{dt}} + {V_C} = 0,}\;\;
{\Rightarrow \frac{{d{V_C}}}{{dt}} = - \frac{1}{{RC}}{V_C},}\;\;
{\Rightarrow \int {\frac{{d{V_C}}}{{{V_C}}}} = - \frac{1}{{RC}}\int {dt} ,}\;\;
{\Rightarrow \ln {V_C} = - \frac{t}{{RC}},}\;\;
{\Rightarrow {V_\text{одн}} = A{e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}},}
\]
где \(A\) − постоянная интегрирования, зависящая от начального условия.
Частное решение неоднородного уравнения соответствует установившемуся режиму, при котором \({\large\frac{{d{V_C}}}{{dt}}\normalsize} = 0.\)
Тогда напряжение на резисторе будет равно нулю и все напряжение будет приложено к конденсатору, то есть
\({V_C} = {V_0}.\) Таким образом, изменение напряжения на конденсаторе описывается выражением
\[{V_C}\left( t \right) = A{e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}} + {V_0}.\]
С учетом начального условия \({V_C}\left( {t = 0} \right) = 0\) находим постоянную \(A:\)
\[0 = A \cdot 1 + {V_0},\;\; \Rightarrow A = - {V_0}.\]
Следовательно, закон изменения напряжения на конденсаторе будет выглядеть так:
\[
{{V_C}\left( t \right) = - {V_0}{e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}} + {V_0} }
= {{V_0}\left( {1 - {e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}}} \right) }
= {200\left( {1 - {e^{ - t}}} \right)\;\left[ \text{В} \right].}
\]
Напряжение на резисторе определяется формулой
\[
{{V_R}\left( t \right) = RC\frac{{d{V_C}}}{{dt}} }
= {RC{V_0}\frac{d}{{dt}}\left( {1 - {e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}}} \right) }
= {\cancel{RC}{V_0} \cdot \frac{1}{\cancel{RC}}{e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}} }
= {{V_0}{e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}} = 200{e^{ - t}}\;\left[ \text{В} \right].}
\]
Ток в \(RC\)-цепи будет изменяться по закону
\[
I\left( t \right) = \frac{{{V_R}\left( t \right)}}{R}
= \frac{{{V_0}}}{R}{e^{ - \large\frac{t}{{RC}}\normalsize}}
= \frac{{200}}{{100}}{e^{ - t}}
= 2{e^{ - t}}\;\left[ \text{A} \right].
\]
Графики изменения напряжений \({V_C}\left( t \right),\) \({V_R}\left( t \right)\) и тока \(I\left( t \right)\)
показаны на рисунках \(9\) и \(10.\)


Рис.9
Рис.10
Пример 3
Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных резистора сопротивлением \(R = 1\;\text{Ом},\) катушки с индуктивностью
\(L = 0.25\;\text{Гн}\) и конденсатора емкостью \(C = 1\;\text{мкФ}.\) Через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в \(e\) раз?
Решение.
В контуре будут происходить затухающие колебания с частотой
\[\omega = \sqrt {\frac{1}{{LC}} - \frac{{{R^2}}}{{4{L^2}}}} .\]
Амплитуда колебаний будет при этом уменьшаться по закону
\[A\left( t \right) = {A_0}{e^{ - {\large\frac{R}{{2L}}\normalsize} t}}.\]
Пусть за время \(t\) произошло \(N\) полных колебаний:
\[
{t = NT = \frac{{2\pi N}}{\omega } }
= {\frac{{2\pi N}}{{\sqrt {\frac{1}{{LC}} - \frac{{{R^2}}}{{4{L^2}}}} }}.}
\]
Если за это время амплитуда колебаний уменьшилась в \(e\) раз, то справедливо соотношение
\[ - \frac{R}{{2L}}t = \frac{R}{{2L}} \cdot \frac{{2\pi N}}{{\sqrt {\frac{1}{{LC}} - \frac{{{R^2}}}{{4{L^2}}}} }} = - 1.\]
Отсюда находим число колебаний \(N:\)
\[
{N = \frac{L}{{\pi R}}\sqrt {\frac{1}{{LC}} - \frac{{{R^2}}}{{4{L^2}}}} }
= {\frac{1}{\pi }\sqrt {\frac{{{L^\cancel{2}}}}{{{R^2}\cancel{L}C}} - \frac{{\cancel{L^2}\cancel{R^2}}}{{4\cancel{R^2}\cancel{L^2}}}} }
= {\frac{1}{\pi }\sqrt {\frac{L}{{{R^2}C}} - \frac{1}{4}} }
= {\frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{4L}}{{{R^2}C}} - 1} }
= {\frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{4 \cdot 0.25}}{{{1^2} \cdot {{10}^{ - 6}}}} - 1} }
\approx {\frac{{1000}}{{2\pi }} \approx 159.}
\]
Пример 4
К последовательной цепи, состоящей из сопротивления \(R = 100\;\text{Ом},\) катушки с индуктивностью \(L = 0.4\;\text{Гн}\) и конденсатора
емкостью \(C = 200\;\text{мкФ},\) подключен переменный источник напряжения с амплитудой \({E_0} = 128\;\text{В}\) и круговой частотой
\(\omega = 250\;\text{Гц}.\) Найти:
Амплитуду тока в цепи;
Амплитуду напряжения на конденсаторе.
Решение.
Вынужденные колебания тока в установившемся режиме происходят с амплитудой
\[
{I_0} = \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }}
= \frac{{128}}{{\sqrt {{{10}^4} + {{\left( {250 \cdot 0.4 - \frac{1}{{250 \cdot 0.2 \cdot {{10}^{ - 3}}}}} \right)}^2}} }}
= \frac{{128}}{{\sqrt {{{10}^4} + {{\left( {100 - 20} \right)}^2}} }}
= \frac{{128}}{{\sqrt {16400} }} \approx 1\;\left[ \text{A} \right].
\]
Амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе будет составлять
\[{V_C} = \frac{{{q_0}}}{C} = \frac{{{I_0}}}{{\omega C}} = \frac{1}{{250 \cdot 0,2 \cdot {{10}^{ - 3}}}} = 20\;\left[ \text{В} \right].\]