Интегрирование иррациональных функций

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей \({x^{\large\frac{m}{n}\normalsize}}\) используется подстановка \(u = {x^{\large\frac{1}{n}\normalsize}}.\) Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней \(x,\) применяется подстановка в форме \(u = {x^{\large\frac{1}{n}\normalsize}},\) где \(n\) полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию. Рациональная функция \(x\) под знаком корня \(n\)-ой степени, т.е. выражение вида \(\sqrt[\large n\normalsize]{{\large\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\normalsize}},\) интегрируется с помощью подстановки \(u = {\left( {\large\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\normalsize} \right)^{\large\frac{1}{n}\normalsize}}.\) Интегрирование иррациональных функций, содержащих \(\sqrt {{a^2} - {x^2}},\) \(\sqrt {{a^2} + {x^2}}\) и \(\sqrt {{x^2} - {a^2}},\) рассматривается на странице Тригонометрические и гиперболические подстановки

Пример 1

Найти интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{\sqrt {x + 9} }}{x}\normalsize dx} .\) Сделаем подстановку: \[ {u = {\left( {x + 9} \right)^{\large\frac{1}{2}\normalsize}},}\;\; {\Rightarrow x + 9 = {u^2},}\;\; {\Rightarrow x = {u^2} - 9,\;\;dx = 2udu.} \] Вычислим интеграл \[ {\int {\frac{{\sqrt {x + 9} }}{x}dx} } = {\int {\frac{u}{{{u^2} - 9}} \cdot 2udu} } = {2\int {\frac{{{u^2}}}{{{u^2} - 9}}du} } = {2\int {\frac{{{u^2} - 9 + 9}}{{{u^2} - 9}}du} } = {2\int {\left( {1 + \frac{9}{{{u^2} - 9}}} \right)du} } = {2\int {du} + 18\int {\frac{{du}}{{{u^2} - {3^2}}}} } = {2u + 18 \cdot \frac{1}{6}\ln \left| {\frac{{u - 3}}{{u + 3}}} \right| + C } = {2\sqrt {x + 9} + 3\ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 9} - 3}}{{\sqrt {x + 9} + 3}}} \right| + C.} \]

Пример 2

Вычислить интеграл \(\int {\large\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\normalsize dx} .\) Используем следующую подстановку: \[ {\sqrt x = u,}\;\; {\Rightarrow x = {u^2},\;\;dx = 2udu.} \] Тогда интеграл (обозначим его как \(I\)) равен \[ {I = \int {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}dx} } = {\int {\frac{{u - 1}}{{u + 1}}2udu} } = {2\int {\frac{{{u^2} - u}}{{u + 1}}du} .} \] Разделим числитель на знаменатель, выделив правильную рациональную дробь. \[\frac{{{u^2} - u}}{{u + 1}} = u - 2 + \frac{2}{{u + 1}}.\] Находим искомый интеграл: \[ {I = 2\int {\left( {u - 2 + \frac{2}{{u + 1}}} \right)du} } = {2\int {udu} - 4\int {du} + 4\int {\frac{{du}}{{u + 1}}} } = {\frac{{2{u^2}}}{2} - 4u + 4\ln \left| {u + 1} \right| + C } = {x - 4\sqrt x + 4\ln \left| {\sqrt x + 1} \right| + C.} \]

Пример 3

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{x + \sqrt[3]{x}}}\normalsize}.\) Запишем интеграл в виде \[ {I = \int {\frac{{dx}}{{x + \sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}} } = {\int {\frac{{dx}}{{x + {x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}} .} \] Поскольку наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно \(3,\) то сделаем замену: \[ {u = {x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}},}\;\; {\Rightarrow x = {u^3},\;\;dx = 3{u^2}du.} \] Получаем новый интеграл \[ {I = \int {\frac{{dx}}{{x + {x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}} } = {\int {\frac{{3{u^2}du}}{{{u^3} + {{\left( {{u^3}} \right)}^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}} } = {3\int {\frac{{{u^2}du}}{{{u^3} + u}}} } = {3\int {\frac{{udu}}{{{u^2} + 1}}}.} \] Сделаем еще одну замену: \[ {t = {u^2} + 1,\;\;dt = 2udu,}\;\; {\Rightarrow udu = \frac{{dt}}{2}.} \] Находим окончательный ответ: \[ {I = 3\int {\frac{{udu}}{{{u^2} + 1}}} } = {3\int {\frac{{\frac{{dt}}{2}}}{t}} } = {3 \cdot \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{t}} } = {\frac{3}{2}\ln \left| t \right| + C } = {\frac{3}{2}\ln \left( {{u^2} + 1} \right) + C } = {\frac{3}{2}\ln \left( {{{\left( {{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)}^2} + 1} \right) + C } = {\frac{3}{2}\ln \left( {{x^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} + 1} \right) + C } = {\frac{3}{2}\ln \left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^2}}} + 1} \right) + C.} \]

Пример 4

Вычислить интеграл \(\int {\large\frac{{dx}}{{\sqrt[5]{x} - 1}}\normalsize} .\) Запишем интеграл в более удобном виде: \[ {\int {\frac{{dx}}{{\sqrt[\large 5\normalsize]{x} - 1}}} } = {\int {\frac{{dx}}{{{x^{\large\frac{1}{5}\normalsize}} - 1}}} .} \] Сделаем подстановку: \[ {{x^{\large\frac{1}{5}\normalsize}} = u,}\;\; {\Rightarrow x = {u^5},\;\;dx = 5{u^4}du.} \] Интеграл через новую переменную \(u\) имеет вид \[ {I = \int {\frac{{dx}}{{{x^{\large\frac{1}{5}\normalsize}} - 1}}} } = {\int {\frac{{5{u^4}du}}{{u - 1}}} } = {5\int {\frac{{{u^4}du}}{{u - 1}}} .} \] Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, разделим числитель на знаменатель. \[ {\frac{{{u^4}}}{{u - 1}} } = {{u^3} + {u^2} + u + 1 + \frac{1}{{u - 1}}.} \] Окончательно получаем \[ {I = 5\int {\left( {{u^3} + {u^2} + u + 1 + \frac{1}{{u - 1}}} \right)du} } ={ 5\left( {\frac{{{u^4}}}{4} + \frac{{{u^3}}}{3} + \frac{{{u^2}}}{2} + u + \ln \left| {u - 1} \right|} \right) + C.} \]

Пример 5

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{x} - \sqrt[4]{x}}}\normalsize} .\) Перепишем интеграл в виде \[ {I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x} - \sqrt[\large 4\normalsize]{x}}}} } = {\int {\frac{{dx}}{{{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} - {x^{\large\frac{1}{4}\normalsize}}}}} .} \] Как видно, наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно \(12.\) Поэтому используем подстановку \[ {u = {x^{\large\frac{1}{{12}}\normalsize}},}\;\; {\Rightarrow x = {u^{12}},\;\;dx = 12{u^{11}}du.} \] Интеграл принимает вид \[ {I = \int {\frac{{12{u^{11}}du}}{{{{\left( {{u^{12}}} \right)}^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} - {{\left( {{u^{12}}} \right)}^{\large\frac{1}{4}\normalsize}}}}} } = {\int {\frac{{12{u^{11}}du}}{{{u^4} - {u^3}}}} } = {12\int {\frac{{{u^8}du}}{{u - 1}}} .} \] Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, чтобы избавиться от неправильной рациональной дроби. \[ {\frac{{{u^8}}}{{u - 1}} } = {{u^7} + {u^6} + {u^5} + {u^4} + {u^3} + {u^2} + u + 1 + \frac{1}{{u - 1}}.} \] После несложных преобразований получим окончательный ответ. \[ {I = 12\int {\left( {{u^7} + {u^6} + {u^5} + {u^4} + {u^3} + {u^2} + u + 1 + \frac{1}{{u - 1}}} \right)du} } = {12\left( {\frac{{{u^8}}}{8} + \frac{{{u^7}}}{7} + \frac{{{u^6}}}{6} + \frac{{{u^5}}}{5} + \frac{{{u^4}}}{4} + \frac{{{u^3}}}{3} + \frac{{{u^2}}}{2} + u + \ln \left| {u - 1} \right|} \right) + C } = {{\frac{3}{2}{u^8} + \frac{{12}}{7}{u^7} } + {2{u^6} + \frac{{12}}{5}{u^5} } + {3{u^4} + 4{u^3} + 6{u^2} } + {12u + 12\ln \left| {u - 1} \right| + C }} = {{\frac{3}{2}{\left( {{x^{\large\frac{1}{{12}}\normalsize}}} \right)^8} + \frac{{12}}{7}{\left( {{x^{\large\frac{1}{{12}}\normalsize}}} \right)^7} } + {2{\left( {{x^{\large\frac{1}{{12}}\normalsize}}} \right)^6} + \frac{{12}}{5}{\left( {{x^{\large\frac{1}{{12}}\normalsize}}} \right)^5} } + {3{\left( {{x^{\large\frac{1}{{12}}\normalsize}}} \right)^4} + 4{\left( {{x^{\large\frac{1}{{12}}\normalsize}}} \right)^3} } + {6{\left( {{x^{\large\frac{1}{{12}}\normalsize}}} \right)^2} + 12\left( {{x^{\large\frac{1}{{12}}\normalsize}}} \right) } + {12\ln \left| {{x^{\large\frac{1}{{12}}\normalsize}} - 1} \right| + C }} = {{\frac{3}{2}{x^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} + \frac{{12}}{7}{x^{\large\frac{7}{{12}}\normalsize}} } + {2{x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} + \frac{{12}}{5}{x^{\large\frac{5}{{12}}\normalsize}} } + {3{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} + 4{x^{\large\frac{1}{4}\normalsize}} } + {6{x^{\large\frac{1}{6}\normalsize}} + 12{x^{\large\frac{1}{{12}}\normalsize}} } + {12\ln \left| {{x^{\large\frac{1}{{12}}\normalsize}} - 1} \right| + C }} = {{\frac{3}{2}\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^2}}} + \frac{{12}}{7}\sqrt[\large {12}\normalsize]{{{x^7}}} } + {2\sqrt x + \frac{{12}}{5}\sqrt[\large {12}\normalsize]{{{x^5}}} } + {3\sqrt[\large 3\normalsize]{x} + 4\sqrt[\large 4\normalsize]{x} } + {6\sqrt[\large 6\normalsize]{x} + 12\sqrt[\large {12}\normalsize]{x} } + {12\ln \left| {\sqrt[\large {12}\normalsize]{x} - 1} \right| + C.}} \]

Пример 6

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{\sqrt {\sqrt x - 2} }}\normalsize}.\) Сделаем подстановку: \[ {\sqrt x - 2 = {u^2},}\;\; {\Rightarrow \sqrt x = {u^2} + 2,}\;\; {\Rightarrow x = {\left( {{u^2} + 2} \right)^2} = {u^4} + 4{u^2} + 4,}\;\; {dx = \left( {4{u^3} + 8u} \right)du.} \] Получаем \[ {I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {\sqrt x - 2} }}} } = {\int {\frac{{\left( {4{u^3} + 8u} \right)du}}{u}} } = {4\int {\left( {{u^2} + 2} \right)du} } = {\frac{{4{u^3}}}{3} + 8u + C } = {\frac{4}{3}\sqrt {{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^3}} + 8\sqrt {\sqrt x - 2} + C.} \]

Пример 7

Вычислить интеграл \(\large\int\normalsize {\sqrt {{e^x} + 1}\,dx} .\) Используем подстановку \[ {{e^x} + 1 = {u^2},}\;\; {\Rightarrow {e^x}dx = 2udu,}\;\; {\Rightarrow dx = \frac{{2udu}}{{{e^x}}} = \frac{{2udu}}{{{u^2} - 1}}.} \] Тогда интеграл равен \[ {I = \int {\sqrt {{e^x} + 1} dx} } = {\int {u\frac{{2udu}}{{{u^2} - 1}}} } = {2\int {\frac{{{u^2}du}}{{{u^2} - 1}}} } = {2\int {\frac{{{u^2} - 1 + 1}}{{{u^2} - 1}}du} } = {2\int {\left( {1 + \frac{1}{{{u^2} - 1}}} \right)du} } = {2\int {du} - 2\int {\frac{{du}}{{1 - {u^2}}}} } = {2u - 2 \cdot \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + u}}{{1 - u}}} \right| + C } = {2u - \ln \left| {\frac{{1 + u}}{{1 - u}}} \right| + C } = {2\sqrt {{e^x} + 1} - \ln \left| {\frac{{1 + \sqrt {{e^x} + 1} }}{{1 - \sqrt {{e^x} + 1} }}} \right| + C.} \]