Интеграл от синуса \(\large\int\normalsize {\sin x\,dx} = - \cos x + C\)

Интеграл от косинуса \(\large\int\normalsize {\cos x\,dx} = \sin x + C\)

Интеграл от синуса в квадрате \(\large\int\normalsize {{{\sin }^2}x\,dx} = \large\frac{x}{2}\normalsize - \large\frac{1}{4}\normalsize \sin{2x} + C\)

Интеграл от косинуса в квадрате \(\large\int\normalsize {{{\cos }^2}x\,dx} = \large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{1}{4}\normalsize \sin{2x} + C\)

Интеграл от синуса в кубе \(\large\int\normalsize {{{\sin }^3}x\,dx} = \large\frac{1}{3}\normalsize{\cos ^3}x - \cos x + C = \large\frac{1}{{12}}\normalsize\cos {3x} - \large\frac{3}{4}\normalsize \cos x + C\)

Интеграл от косинуса в кубе \(\large\int\normalsize {{{\cos }^3}x\,dx} = \sin x - \large\frac{1}{3}\normalsize{\sin ^3}x + C = \large\frac{1}{{12}}\normalsize\sin {3x} + \large\frac{3}{4}\normalsize \sin x + C\)

Интеграл от секанса \(\large\int {\frac{{dx}}{{\cos x}}}\normalsize = \large\int\normalsize {\sec x\,dx} = \ln \left| {\tan \left( {\large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{\pi }{4}\normalsize} \right)} \right| + C\)

Интеграл от косеканса \(\large\int {\frac{{dx}}{{\sin x}}}\normalsize = \large\int\normalsize {\csc x\,dx} = \ln \left| {\tan {\large\frac{x}{2}\normalsize}} \right| + C\)

Интеграл от секанса в квадрате \(\large\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}\normalsize = \large\int\normalsize {{{\sec }^2}x\,dx} = \tan x + C\)

Интеграл от косеканса в квадрате \(\large\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}\normalsize = \large\int\normalsize {{{\csc }^2}x\,dx} = -\cot x + C\)

Интеграл от секанса в кубе \(\large\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^3}x}}}\normalsize = \large\int\normalsize {{{\sec }^3}xdx} = \large\frac{{\sin x}}{{2{{\cos }^2}x}}\normalsize + \large\frac{1}{2}\normalsize\ln \left| {\tan \left( {\large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{\pi }{4}}\normalsize \right)} \right| + C\)

Интеграл от косеканса в кубе \(\large\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^3}x}}}\normalsize = \large\int\normalsize {{{\csc }^3}xdx} = -\large\frac{{\cos x}}{{2{{\sin }^2}x}}\normalsize + \large\frac{1}{2}\normalsize\ln \left| {\tan \large\frac{x}{2}\normalsize} \right| + C\)

Интеграл от произведения синуса и косинуса \(\large\int\normalsize {\sin x\cos x\,dx} = - \large\frac{1}{4}\normalsize\cos{2x} + C\)

Интеграл от произведения синуса в квадрате и косинуса \(\large\int\normalsize {{{\sin }^2}x\cos x \,dx} = \large\frac{1}{3}\normalsize {\sin^3}x + C\)

Интеграл от произведения косинуса в квадрате и синуса \(\large\int\normalsize {{{\cos }^2}x\sin x \,dx} = -\large\frac{1}{3}\normalsize {\cos^3}x + C\)

Интеграл от произведения квадратов синуса и косинуса \(\large\int\normalsize {{{\sin }^2}x\,{{\cos }^2}x\,dx} = \large\frac{x}{8}\normalsize - \large\frac{1}{{32}}\normalsize \sin{4x} + C\)

Интеграл от тангенса \(\large\int\normalsize {\tan x\,dx} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

\(\large\int\normalsize {\large\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\normalsize dx} = \large\frac{1}{{\cos x}}\normalsize + C = \sec x + C\)

\(\large\int\normalsize {\large\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}}\normalsize dx} = \ln \left| {\tan \left( {\large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{\pi }{4}\normalsize} \right)} \right| - \sin x + C\)

Интеграл от тангенса в квадрате \(\large\int\normalsize {{{\tan }^2}x\,dx} = \tan x - x + C\)

Интеграл от котангенса \(\large\int\normalsize {\cot x\,dx} = \ln \left| {\sin x} \right| + C\)

\(\large\int\normalsize {\large\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\normalsize dx} = - \large\frac{1}{{\sin x}}\normalsize + C = - \csc x + C\)

\(\large\int\normalsize {\large\frac{{{\cos^2}x}}{{\sin x}}\normalsize dx} = \ln \left| {\tan \large\frac{x}{2}}\normalsize \right| + \cos x + C\)

Интеграл от котангенса в квадрате \(\large\int\normalsize {{{\cot }^2}x\,dx} = - \cot x - x + C\)

\(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{\cos x\sin x}}\normalsize} = \ln \left| {\tan x} \right| + C\)

\(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{\sin^2}x\cos x}}\normalsize} = - \large\frac{1}{{\sin x}}\normalsize + \ln \left| {\tan \left( {\large\frac{x}{2}\normalsize + \large\frac{\pi }{4}}\normalsize \right)} \right| + C\)

\(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{\sin x\,{{\cos }^2}x}}\normalsize} = \large\frac{1}{{\cos x}}\normalsize + \ln \left| {\tan \large\frac{x}{2}}\normalsize \right| + C\)

\(\large\int {\frac{{dx}}{{{\sin^2}x\,{{\cos }^2}x}}}\normalsize = \tan x - \cot x + C\)

\(\large\int\normalsize {\sin {mx}\sin {nx}\,dx} = - \large\frac{{\sin \left( {m + n} \right)x}}{{2\left( {m + n} \right)}}\normalsize + \large\frac{{\sin \left( {m - n} \right)x}}{{2\left( {m - n} \right)}}\normalsize + C,\;\;{m^2} \ne {n^2}.\)

\(\large\int\normalsize {\sin {mx}\cos {nx}\,dx} = - \large\frac{{\cos \left( {m + n} \right)x}}{{2\left( {m + n} \right)}}\normalsize - \large\frac{{\cos \left( {m - n} \right)x}}{{2\left( {m - n} \right)}}\normalsize + C,\;\;{m^2} \ne {n^2}.\)

\(\large\int\normalsize {\cos {mx}\cos {nx}\,dx} = \large\frac{{\sin \left( {m + n} \right)x}}{{2\left( {m + n} \right)}}\normalsize + \large\frac{{\sin \left( {m - n} \right)x}}{{2\left( {m - n} \right)}}\normalsize + C,\;\;{m^2} \ne {n^2}.\)

\(\large\int\normalsize {\sec x\tan x\,dx} = \sec x + C\)

\(\large\int\normalsize {\csc x\cot x\,dx} = -\csc x + C\)

\(\large\int\normalsize {\sin x\,{{\cos }^n}x\,dx} = - \large\frac{{{{\cos }^{n + 1}}x}}{{n + 1}}\normalsize + C\)

\(\large\int\normalsize {{{\sin }^n}x\cos x\,dx} = \large\frac{{{\sin^{n + 1}}x}}{{n + 1}}\normalsize + C\)

Интеграл от арксинуса \(\large\int\normalsize {\arcsin x\,dx} = x\arcsin x + \sqrt {1 - {x^2}} + C\)

Интеграл от арккосинуса \(\large\int\normalsize {\arccos x\,dx} = x\arccos x - \sqrt {1 - {x^2}} + C\)

Интеграл от арктангенса \(\large\int\normalsize {\arctan x\,dx} = x\arctan x - \large\frac{1}{2}\normalsize\ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\)

Интеграл от арккотангенса \(\large\int\normalsize {\text {arccot }x\,dx} = x\,\text{arccot }x + \large\frac{1}{2}\normalsize\ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\)