Действия со степенями
Множество натуральных чисел: \(\mathbb{N}\) Множество целых чисел: \(\mathbb{Z}\) Множество рациональных чисел: \(\mathbb{Q}\) Множество действительных чисел: \(\mathbb{R}\) Основания: \(a\), \(b\) Показатели степени: \(n\), \(m\), \(r\), \({r_n}\), \(\beta\), \(u\), \(v\)
Натуральные числа: \(n\), \(m\), \(q\) Целые числа: \(p\) Рациональные числа: \(r\), \({r_n}\) Иррациональные числа: \(\beta\) Действительные числа: \(u\), \(v\)

  1. Степенью действительного числа a с натуральным показателем n называется выражение \({a^n} = \underbrace {a \cdot a \ldots a}_{n\text{ раз}}, \text{ где } a \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}\).

Свойства степеней с натуральным показателем

  1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями \({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)

  2. Деление степеней с одинаковыми основаниями \({a^n}/{a^m} = {a^{n - m}}\;\left( {n>m} \right)\)

  3. Степень произведения \({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)

  4. Степень частного \({\left( {\large\frac{a}{b}}\normalsize \right)^n} = \large\frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\normalsize\;\;\left( {b \ne 0} \right)\)

  5. Двойное возведение в степень \({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}}\)

  6. \({0^n} = 0\)

  7. \({1^n} = 1\)

  8. \({a^1} = a\)

  9. Возведение отрицательного числа в четную степень \({\left( { - a} \right)^{2n}} = {a^{2n}}\;\left( {a>0} \right)\)

  10. Возведение отрицательного числа в нечетную степень \({\left( { - a} \right)^{2n + 1}} = - {a^{2n + 1}}\;\;\left( {a>0} \right)\)

Свойства степеней с целым показателем

  1. Нулевая степень \({a^0} = 1\;\;\left( {a \ne 0} \right)\)

  2. Выражение \({0^0}\) не определено.

  3. Отрицательная степень \({a^{ - r}} = 1/{a^r},\text{ где }r \in \mathbb{Q},a \ne 0\).

Свойства степеней с рациональным показателем

  1. Степенью положительного действительного числа \(a\) с рациональным показателем \(p/q\) называется выражение \({a^{p/q}} = \sqrt[\large q\normalsize]{{{a^p}}},\text{ где }a \ge 0,p \in \mathbb{Z},q \in \mathbb{N}\).

Свойства степеней с действительным показателем

  1. Определение степени с иррациональным показателем \(\beta\): \({a^\beta } = \lim\limits_{{r_n} \to \beta } {a^{{r_n}}},\) где \({r_n}\) представляет собой произвольную последовательность рациональных чисел, сходящуюся к показателю \(\beta\).

  2. Для любых действительных показателей \(u\), \(v\) при условии \(a>0\) и \(b>0\) справедливы следующие действия со степенями: \({a^u}{a^v} = {a^{u + v}}\), \({\left( {{a^u}} \right)^v} = {a^{uv}}\), \({a^{ - u}} = 1/{a^u}\), \(\large\frac{{{a^u}}}{{{a^v}}}\normalsize = {a^{u - v}}\), \({\left( {ab} \right)^u} = {a^u}{b^u}\), \({\left( {\large\frac{a}{b}}\normalsize \right)^u} = \large\frac{{{a^u}}}{{{b^u}}}\normalsize .\)