Корнем \(n\)-ой степени из числа \(a\) называется число \(b\), \(n\)-ая степень которого равна \(a\). Здесь \(a\) и \(b\) − действительные числа, \(n\) − натуральное число (\(n \ge 2\)). \(\sqrt[\large n\normalsize]{a} = b,\;\;{b^n} = a\)

Арифметическим корнем \(n\)-ой степени из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число \(b\), \(n\)-ая степень которого равна \(a\). Если \(a = 0\), то арифметический корень \(n\)-ой степени также равен нулю: \(\sqrt[\large n\normalsize]{0} = {0^{1/n}} = 0\)

При \(a<0\) корень \(n\)-ой степени из числа \(a\) определяется лишь при нечетном показателе \(n\).

Квадратный корень из числа \(a\) (\(a \ge 0)\) обычно обозначается как \(\sqrt a \).

Корень из произведения \(\sqrt[\large n\normalsize]{{ab}} = \sqrt[\large n\normalsize]{a}\sqrt[\large n\normalsize]{b}\)

Умножение корней с разными основаниями и разными степенями \(\sqrt[\large n\normalsize]{a}\sqrt[\large m\normalsize]{b} = \sqrt[{\large nm\normalsize}]{{{a^m}{b^n}}}\)

Корень от частного \(\sqrt[\large n\normalsize]{{\large\frac{a}{b}}}\normalsize = \large\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}\normalsize\;\;\left( {b \ne 0} \right)\)

Деление корней с разными основаниями и разными степенями \(\large\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[m]{b}}}\normalsize = \large\frac{{\sqrt[{nm}]{{{a^m}}}}}{{\sqrt[{nm}]{{{b^n}}}}}\normalsize = \large\sqrt[{nm}]{{\frac{{{a^m}}}{{{b^n}}}}}\normalsize\;\;\left( {b \ne 0} \right)\)

Возведение корня в степень \({\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{a}} \right)^m} = \sqrt[\large n\normalsize]{{{a^m}}}\)

\({\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{a}} \right)^n} = a\)

Извлечение корня из степени \(\sqrt[\large n\normalsize]{{{a^m}}} = {a^{m/n}}\)

\(\sqrt[\large n\normalsize]{{{a^m}}} = \sqrt[{\large np\normalsize}]{{{a^{mp}}}}\)

\({\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{{{a^m}}}} \right)^p} = \sqrt[\large n\normalsize]{{{a^{mp}}}}\)

Двойное извлечение корня \(\sqrt[\large m\normalsize]{{\sqrt[\large n\normalsize]{a}}} = \sqrt[{\large mn\normalsize}]{a}\)

Обратное значение корня \(\large\frac{1}{{\sqrt[n]{a}}}\normalsize = \large\frac{{\sqrt[n]{{{a^{n - 1}}}}}}{a}\normalsize\;\;\left( {a \ne 0} \right)\)

\(\sqrt {a \pm \sqrt b } = \sqrt {\large\frac{{a + \sqrt {{a^2} - b} }}{2}\normalsize} \pm \sqrt {\large\frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}\normalsize} \;\;\left( {b \ge 0,a \ge \sqrt b } \right)\)

Формула сложных радикалов \(\sqrt {a + \sqrt b } \pm \sqrt {a - \sqrt b } = 2\sqrt {\large\frac{{a \pm \sqrt {{a^2} - b} }}{2}\normalsize} \;\;\left( {b \ge 0,a \ge \sqrt b } \right)\)

\(\large\frac{1}{{\sqrt a \pm \sqrt b }}\normalsize = \large\frac{{\sqrt a \mp \sqrt b }}{{a - b}}\normalsize\;\;\left( {a \ne b} \right)\)