Двойные интегралы в прямоугольной области

Пусть область интегрирования \(R\) представляет собой прямоугольник \(\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right].\) Тогда двойной интеграл в такой области выражается через повторный интеграл в следующем виде: \[ {\iint\limits_R {f\left( {x,y} \right)dxdy} } = {\int\limits_a^b {\left( {\int\limits_c^d {f\left( {x,y} \right)dy} } \right)dx} } = {\int\limits_c^d {\left( {\int\limits_a^b {f\left( {x,y} \right)dx} } \right)dy} .} \] В данном случае область интегрирования \(R\) относится одновременно к типу \(I\) и \(II,\) так что у нас есть возможность выбирать, по какой переменной (\(x\) или \(y\)) начинать интегрировать функцию \(f\left( {x,y} \right).\) Обычно удобнее начинать с более простого интеграла. В частном случае, когда подынтегральная функция \(f\left( {x,y} \right)\) "расщепляется" на произведение \(g\left( {x} \right) h\left( {y} \right),\) двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов: \[ {\iint\limits_R {f\left( {x,y} \right)dxdy} } = {\iint\limits_R {g\left( x \right)h\left( y \right)dxdy} } = {\left( {\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} } \right)\left( {\int\limits_c^d {h\left( y \right)dy} } \right).} \]

Пример 1

Вычислить двойной интеграл \(\iint\limits_R {xydxdy} \) в области \(R = \left\{ {\left( {x,y} \right)|\;2 \le x \le 5,0 \le y \le 1} \right\}.\) Как видно, подынтегральная функция \(f\left( {x,y} \right)\) представляет собой произведение \(g\left( {x} \right) h\left( {y} \right).\) Следовательно, интеграл равен \[ {\iint\limits_R {xydxdy} = \int\limits_2^4 {xdx} \cdot \int\limits_0^1 {ydy} } = {\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_2^4 \cdot \left. {\left( {\frac{{{y^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 } = {\left( {8 - 2} \right)\left( {\frac{1}{2} - 0} \right) = 3.} \]

Пример 2

Вычислить двойной интеграл \(\iint\limits_R {x{y^2}dxdy},\) заданный в области \(R = \left\{ {\left( {x,y} \right)|\;1 \le x \le 5,0 \le y \le 2} \right\}.\) Поскольку функция \(f\left( {x,y} \right)\) представляет собой произведение \(g\left( {x} \right) h\left( {y} \right),\) интеграл равен \[ {\iint\limits_R {x{y^2}dxdy} } = {\int\limits_1^5 {xdx} \cdot \int\limits_0^2 {{y^2}dy} } = {\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^5 \cdot \left. {\left( {\frac{{{y^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 } = {\left( {\frac{{25}}{2} - \frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{8}{3} - 0} \right) = 64.} \]

Пример 3

Вычислить интеграл \(\iint\limits_R {\large\frac{{dxdy}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\normalsize},\) заданный в области \(R = \left\{ {\left( {x,y} \right)|\;0 \le x \le 2,1 \le y \le 2} \right\}.\) Выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от \(x\)), получаем \[ {\iint\limits_R {\frac{{dxdy}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}} } = {\int\limits_1^2 {\int\limits_0^2 {\frac{{dxdy}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}} } } = {\int\limits_1^2 {\left[ {\int\limits_0^2 {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}} } \right]dy} } = {\int\limits_1^2 {\left[ {\left. {\left( { - \frac{1}{{x + y}}} \right)} \right|_{x = 0}^2} \right]dy} } = {\int\limits_1^2 {\left[ { - \frac{1}{{y + 2}} + \frac{1}{y}} \right]dy} } = {\left. {\left[ {\ln y - \ln \left( {y + 2} \right)} \right]} \right|_1^2 } = {\left. {\left( {\ln \frac{y}{{y + 2}}} \right)} \right|_1^2 } = {\ln \frac{2}{4} - \ln \frac{1}{3} = \ln \frac{3}{2}.} \]

Пример 4

Вычислить интеграл \(\iint\limits_R {\cos \left( {x + y} \right)dxdy} \) в области \(R = \left\{ {\left( {x,y} \right)|\;0 \le x \le \large\frac{\pi }{2}\normalsize, 0 \le y \le \large\frac{\pi }{2}\normalsize} \right\}.\) В данном случае также удобно сначала проинтегрировать по \(x\) и затем по \(y.\) \[\require{cancel} {\iint\limits_R {\cos \left( {x + y} \right)dxdy} } = {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos \left( {x + y} \right)dxdy} } } = {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos \left( {x + y} \right)dx} } \right]dy} } = {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\left. {\left( {\sin \left( {x + y} \right)} \right)} \right|_{x = 0}^{\frac{\pi }{2}}} \right]dy} } = {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2} + y} \right) - \sin y} \right]dy} } = {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {2\sin \frac{{\frac{\pi }{2} + \cancel{y} - \cancel{y}}}{2}\cos\frac{{\frac{\pi }{2} + y + y}}{2}} \right]dy} } = {2\sin \frac{\pi }{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos\left( {\frac{\pi }{4} + y} \right)dy} } = {\sqrt 2 \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos\left( {\frac{\pi }{4} + y} \right)dy} } = {\sqrt 2 \left. {\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{4} + y} \right)} \right]} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} } = {\sqrt 2 \left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2}} \right) - \sin \frac{\pi }{4}} \right] } = {\sqrt 2 \left[ {\sin \frac{{3\pi }}{4} - \sin \frac{\pi }{4}} \right] = 0.} \]

Пример 5

Вычислить интеграл \(\iint\limits_R {\left( {x - {y^2}} \right)dxdy},\) заданный в области \(R = \left\{ {\left( {x,y} \right)|\;2 \le x \le 3,1 \le y \le 2} \right\}.\) Выразим двойной интеграл через повторный. Сначала проинтегрируем по \(x,\) затем по \(y.\) \[ {\iint\limits_R {\left( {x - {y^2}} \right)dxdy} } = {\int\limits_1^2 {\int\limits_2^3 {\left( {x - {y^2}} \right)dxdy} } } = {\int\limits_1^2 {\left[ {\int\limits_2^3 {\left( {x - {y^2}} \right)dx} } \right]dy} } = {\int\limits_1^2 {\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - {y^2}x} \right)} \right|_{x = 2}^3} \right]dy} } = {\int\limits_1^2 {\left[ {\left( {\frac{9}{2} - 3{y^2}} \right) - \left( {2 - 2{y^2}} \right)} \right]dy} } = {\int\limits_1^2 {\left( {\frac{5}{2} - {y^2}} \right)dy} } = {\left. {\left( {\frac{5}{2}y - \frac{{{y^3}}}{3}} \right)} \right|_1^2 } = {\left( {5 - \frac{8}{3}} \right) - \left( {\frac{5}{2} - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{6}.} \] Мы можем поменять порядок интегрирования. Результат, разумеется, не изменится. \[ {\iint\limits_R {\left( {x - {y^2}} \right)dxdy} } = {\int\limits_2^3 {\int\limits_1^2 {\left( {x - {y^2}} \right)dydx} } } = {\int\limits_2^3 {\left[ {\int\limits_1^2 {\left( {x - {y^2}} \right)dy} } \right]dx} } = {\int\limits_2^3 {\left[ {\left. {\left( {xy - \frac{{{y^3}}}{3}} \right)} \right|_{y = 1}^2} \right]dx} } = {\int\limits_2^3 {\left[ {\left( {2x - \frac{8}{3}} \right) - \left( {x - \frac{1}{3}} \right)} \right]dx} } = {\int\limits_2^3 {\left( {x - \frac{7}{3}} \right)dx} } = {\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{7x}}{3}} \right)} \right|_2^3 } = {\left( {\frac{9}{2} - 7} \right) - \left( {2 - \frac{{14}}{3}} \right) = \frac{1}{6}.} \]