Гипербола представляет собой плоскую кривую, для каждой точки которой модуль разности расстояний до двух заданных точек (фокусов гиперболы) является постоянным. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием и обозначается через \(2c\). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром. У гиперболы имеются две оси симметрии: фокальная или действительная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей мнимая ось, проходящая через центр. Действительная ось пересекает ветви гиперболы в точках, которые называются вершинами. Отрезок, соединяющий центр гиперболы с вершиной, называется действительной полуосью и обозначается через \(a\). Мнимая полуось обозначается символом \(b\). Каноническое уравнение гиперболы записывается в виде \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize - \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 1\).

Модуль разности расстояний от любой точки гиперболы до ее фокусов является постоянной величиной: \(\left| {{r_1} - {r_2}} \right| = 2a\), где \({r_1}\), \({r_2}\) − расстояния от произвольной точки \(P\left( {x,y} \right)\) гиперболы до фокусов \({F_1}\) и \({F_2}\), \(a\) − действительная полуось гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы \(y = \pm \large\frac{b}{a}\normalsize x\)

Соотношение между полуосями гиперболы и фокусным расстоянием \({c^2} = {a^2} + {b^2}\), где \(c\) − половина фокусного расстояния, \(a\) − действительная полуось гиперболы, \(b\) − мнимая полуось.

Эксцентриситет гиперболы \(e = \large\frac{c}{a}\normalsize>1\)

Уравнения директрис гиперболы Директрисой гиперболы называется прямая, перпендикулярная ее действительной оси и пересекающая ее на расстоянии \(\large\frac{a}{e}\normalsize\) от центра. У гиперболы − две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис имеют вид \(x = \pm \large\frac{a}{e}\normalsize = \pm \large\frac{{{a^2}}}{c}\normalsize\).

Уравнение правой ветви гиперболы в параметрической форме \( \left\{ \begin{aligned} x &= a \cosh t \\ y &= b \sinh t \end{aligned} \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\), где \(a\), \(b\) − полуоси гиперболы, \(t\) − параметр.

Общее уравнение гиперболы \(A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\), где \(B^2 - 4AC>0\).

Общее уравнение гиперболы, полуоси которой параллельны осям координат \(A{x^2} + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\), где \(AC<0\).

Равнобочная гипербола Гипербола называется равнобочной, если ее полуоси одинаковы: \(a = b\). У такой гиперболы асимптоты взаимно перпендикулярны. Если асимптотами являются горизонтальная и вертикальная координатные оси (соответственно, \(y = 0\) и \(x = 0\)), то уравнение равнобочной гиперболы имеет вид \(xy = \large\frac{{{e^2}}}{4}\normalsize\) или \(y = \large\frac{k}{x}\normalsize\), где \(k = \large\frac{e^2}{4}\normalsize .\)

Параболой называется плоская кривая, в каждой точки которой выполняется следующее свойство: расстояние до заданной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через \(p\). Парабола имеет единственную ось симметрии, которая пересекает параболу в ее вершине. Каноническое уравнение параболы имеет вид \(y = 2px\).

Уравнение директрисы \(x = - \large\frac{p}{2}\normalsize\), где \(p\) − параметр параболы.

Координаты фокуса \(F \left( {\large\frac{p}{2}\normalsize, 0} \right)\)

Координаты вершины \(M \left( {0,0} \right)\)

Общее уравнение параболы \(A{x^2} + Bxy + C{y^2} + Dx + Ey + F = 0\), где \(B^2 - 4AC = 0\).

Уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси \(Oy\) \(A{x^2} + Dx + Ey + F = 0\;\left( {A \ne 0, E \ne 0} \right) \), или в эквивалентной форме \(y = a{x^2} + bx + c,\;\;p = \large\frac{1}{2a}\normalsize\)

Уравнение директрисы \(y = {y_0} - \large\frac{p}{2}\normalsize\), где \(p\) − параметр параболы.

Координаты фокуса \(F\left( {{x_0},{y_0} + \large\frac{p}{2}\normalsize} \right)\)

Координаты вершины \({x_0} = - \large\frac{b}{{2a}}\normalsize,\;\;{y_0} = ax_0^2 + b{x_0} + c = \large\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}\normalsize\)

Уравнение параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии, параллельной оси \(Oy\) \(y = a{x^2},\;\;p = \large\frac{1}{{2a}}\normalsize\)

Уравнение директрисы \(y = - \large\frac{p}{2}\normalsize\), где \(p\) − параметр параболы.

Координаты фокуса \(F \left( {0, \large\frac{p}{2}\normalsize} \right)\)

Координаты вершины \(M \left( {0,0} \right)\)