Вытекание жидкости из сосуда
Закон Торричелли
Итальянский ученый Эванджелиста Торричелли, изучавший движение жидкостей,
в \(1643\) году экспериментально обнаружил, что скорость вытекания жидкости через малое отверстие на дне открытого сосуда (рисунок \(1\)) описывается формулой:
\[v = \sqrt {2gh} ,\]
где \(h\) − высота уровня жидкости над отверстием, \(g\) − гравитационная постоянная.
Рис.1
Рис.2
Вытекание жидкости из тонкой трубки
Вытекание жидкости из тонкой длинной трубки (рисунок \(2\)) имеет ряд особенностей. Здесь важную роль играют капиллярные эффекты, обусловленные
поверхностным натяжением и смачиванием вследствие контакта со стенками трубки.
Скорость вытекания жидкости из капиллярных трубок приблизительно пропорциональна высоте столба жидкости над отверстием, то есть
\[v = kh,\]
где \(k\) − некоторая константа, зависящая от вязкости жидкости, геометрии и материала трубки.
Далее мы будем описывать вытекание жидкости с помощью дифференциальных уравнений из сосудов обоих типов (широкого и тонкого).
Дифференциальное уравнение вытекания жидкости
Данное дифференциальное уравнение можно вывести, рассматривая баланс жидкости в сосуде. Возьмем, например, цилиндрический сосуд с широким основанием, радиус
которого равен \(R.\) Предположим, что жидкость вытекает через малое отверстие радиуса \(a\) на дне сосуда (рисунок \(3\)).
Рис.3
Рис.4
Пример 1
Вывести дифференциальное уравнение вытекания жидкости из конического сосуда и определить полное время вытекания \(T.\)
Радиус верхнего основания конического сосуда равен \(R,\) а радиус нижнего основания \(a.\) Начальная уровень жидкости составляет \(H\) (рисунок \(5\)).
Рис.5
Рис.6
Решение.
Изменение уровня жидкости на высоте \(z\) описывается дифференциальным уравнением
\[S\left( z \right)\frac{{dz}}{{dt}} = q\left( z \right),\]
где \(S\left( z \right)\) − площадь поперечного сечения сосуда на высоте \(z,\) а \(q\left( z \right)\) − поток жидкости, зависящий от высоты\(z.\)
Принимая во внимание геометрию сосуда, можно предположить, что закон Торричелли выполняется. Поэтому, можно записать:
\[q\left( z \right) = - \pi {a^2}\sqrt {2gz} ,\]
где \(a\) − радиус отверстия на дне конического сосуда. Учитывая, что отверстие достаточно малое, осевое сечение можно рассматривать как треугольник
(рисунок \(6\) выше). Из подобия треугольников следует, что
\[\frac{R}{H} = \frac{r}{z}.\]
Следовательно, площадь поверхности жидкости на высоте \(z\) будет равна
\[
{S\left( z \right) = \pi {r^2} }
= {\pi {\left( {\frac{{Rz}}{H}} \right)^2} }
= {\frac{{\pi {R^2}{z^2}}}{{{H^2}}}.}
\]
Подставляя \(S\left( z \right)\) и \(q\left( z \right)\) в дифференциальное уравнение, имеем:
\[\frac{{\pi {R^2}{z^2}}}{{{H^2}}}\frac{{dz}}{{dt}} = - \pi {a^2}\sqrt {2gz} .\]
После простых преобразований получаем следующее дифференциальное уравнение:
\[{z^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}dz = - \frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} dt.\]
Проинтегрируем обе части, учитывая, что уровень жидкости уменьшается от начального значения \(H\) до нуля за время \(T:\)
\[
{\int\limits_H^0 {{z^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}dz} = - \int\limits_0^T {\frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} dt} ,}\;\;
{\Rightarrow \left. {\left( {\frac{{{z^{\large\frac{5}{2}\normalsize}}}}{{\frac{5}{2}}}} \right)} \right|_0^H = \frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} \left[ {\left. {\left( t \right)} \right|_0^T} \right],}\;\;
{\Rightarrow \frac{2}{5}{H^{\large\frac{5}{2}\normalsize}} = \frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}\sqrt {2g} T,}\;\;
{\Rightarrow \frac{1}{5}\sqrt {\frac{{2H}}{g}} = \frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}T,}\;\;
{\Rightarrow T = \frac{{{R^2}}}{{5{a^2}}}\sqrt {\frac{{2H}}{g}} .}
\]
Здесь мы снова видим аналогию с падением материального тела с высоты \(H\) в гравитационном поле Земли. Как известно,
время падения описывается формулой:
\[T = \sqrt {\frac{{2H}}{g}}. \]
Если мы сравним этот результат со случаем вытекания жидкости из цилиндрического сосуда, то видно, что при тех же самых
значениях \(H, R\) и \(a\) время вытекания жидкости из конического сосуда ровно в \(5\) раз меньше, чем из цилиндра (хотя
объем конического сосуда меньше лишь в \(3\) раза!). Такие целочисленные отношения в природе выглядят удивительными, не правда ли?
Пример 2
Исследовать вытекание жидкости из тонкой трубки радиусом \(R\) и высотой \(H,\) считая трубку полностью заполненной жидкостью.
Рис.7
Рис.8
Решение.
Аналогично разобранным выше примерам, мы можем записать уравнение баланса жидкости на некоторой произвольной высоте \(z\) в следующей форме:
\[S\left( z \right)\frac{{dz}}{{dt}} = q\left( z \right).\]
В данном случае площадь поперечного сечения \(S\left( z \right)\) является константой:
\[S\left( z \right) = S = \pi {R^2},\]
и поток жидкости, вытекающей из сосуда, определяется формулой:
\[q\left( z \right) = - kz,\]
где \(k\) зависит от размера отверстия, смачиваемости и других параметров.
В результате получаем простое дифференциальное уравнение:
\[\pi {R^2}\frac{{dz}}{{dt}} = - kz,\]
или после разделения переменных:
\[\frac{{dz}}{z} = - \frac{k}{{\pi {R^2}}}dt.\]
Теперь это уравнение можно проинтегрировать, считая, что уровень жидкости уменьшается с высоты \(H\) до \(h\) за время от \(0\) до \(t:\)
\[
{\int\limits_H^h {\frac{{dz}}{z}} = - \int\limits_0^t {\frac{k}{{\pi {R^2}}}dt} ,}\;\;
{\Rightarrow \left. {\left( {\ln z} \right)} \right|_h^H = \frac{k}{{\pi {R^2}}}t,}\;\;
{\Rightarrow t = \frac{{\pi {R^2}}}{k}\left( {\ln H - \ln h} \right) = \frac{{\pi {R^2}}}{k}\ln \frac{H}{h}.}
\]
Зависимость времени \(t\) от отношения \(\large\frac{H}{h}\normalsize\) показана схематически на рисунке \(8.\)
Данная кривая аналогична зависимости времени \(T\) от высоты \(H\) для широкого цилиндрического сосуда, для которого справедлив закон Торричелли.
Интересно, что в данной простой модели время вытекания жидкости \(t\) формально стремится к бесконечности при \(h \to 0.\)