Векторное произведение векторов
Векторы: \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\) Модуль вектора: \(\left| \mathbf{u} \right|\), \(\left| \mathbf{v} \right|\), \(\left| \mathbf{w} \right|\) Нулевой вектор: \(\mathbf{0}\) Единичные векторы: \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{k}\)
Угол между векторами: \(\theta\) Координаты векторов: \({X_1}\), \({Y_1}\), \({Z_1}\), \({X_2}\), \({Y_2}\), \({Z_2}\) Действительные числа: \(\lambda\), \(\mu\) Площадь параллелограмма: \(S\)

  1. Векторным произведением векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) называется третий вектор \(\mathbf{w}\), модуль которого равен произведению модулей векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) на синус угла \(\theta\) между ними, перпендикулярен им и направлен таким образом, что тройка векторов \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\) образует правую систему: \(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{w}\), где • \(\left| \mathbf{w} \right| = \left| \mathbf{u} \right| \cdot \left| \mathbf{v} \right| \cdot \sin \theta,\;\;0 \le \theta \le \large\frac{\pi }{2}\normalsize ;\) • \(\mathbf{w} \bot \mathbf{u},\;\mathbf{w} \bot \mathbf{v};\) • \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\) образуют правую систему.

    векторное произведение

  2. Векторное произведение в координатной форме Если \(\mathbf{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\), \(\mathbf{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right)\), то \(\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ {{X_1}} & {{Y_1}} & {{Z_1}}\\ {{X_2}} & {{Y_2}} & {{Z_2}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{Y_1}} & {{Z_1}}\\ {{Y_2}} & {{Z_2}} \end{array}} \right|\mathbf{i} - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_1}} & {{Z_1}}\\ {{X_2}} & {{Z_2}} \end{array}} \right|\mathbf{j} + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_1}} & {{Y_1}}\\ {{X_2}} & {{Y_2}} \end{array}} \right|\mathbf{k}.\)

  3. Модуль векторного произведения векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах: \(S = \left| {\mathbf{u} \times \mathbf{v}} \right| = \left| \mathbf{u} \right| \cdot \left| \mathbf{v} \right| \cdot \sin \theta \)

  4. Угол между векторами, выраженный через их векторное произведение \(\sin \theta = \large\frac{{\left| {\mathbf{u} \times \mathbf{v}} \right|}}{{\left| \mathbf{u} \right| \cdot \left| \mathbf{v} \right|}}\normalsize\)

  5. Свойство антикоммутативности векторного произведения \(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = - \left( {\mathbf{v} \times \mathbf{u}} \right)\)

  6. Ассоциативность векторного произведения относительно умножения на число \(\left( {\lambda \mathbf{u}} \right) \times \left( {\mu \mathbf{v}} \right) = \lambda \mu \mathbf{u} \times \mathbf{v}\)

  7. Дистрибутивное свойство векторного произведения относительно сложения векторов \(\mathbf{u} \times \left( {\mathbf{v} + \mathbf{w}} \right) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}\)

  8. Векторное произведение векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) равно нулевому вектору, если \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) параллельны (коллинеарны): \(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}\), если \(\mathbf{u}\parallel \mathbf{v} \left( {\theta = 0} \right)\).

  9. Векторное произведение единичных координатных векторов \(\mathbf{i} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} \times \mathbf{k} = \mathbf{0}\)

  10. Векторное произведение несовпадающих единичных векторов \(\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}\), \(\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}\), \(\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}.\)