Бесконечные последовательности

Функция \(f\left( n \right),\) определенная на множестве натуральных чисел, образует последовательность действительных чисел. Значения \({a_n} = f\left( n \right),\) которые принимает эта функция, называются членами последовательности. Множество значений \({a_n} = f\left( n \right)\) обозначается как \(\left\{ {{a_n}} \right\}.\) Числовая последовательность \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) имеет предел \(L,\) если для каждого \(\varepsilon>0\) существует натуральное число \(N>0,\) такое, что при всех \(n \ge N\) выполняется неравенство \(\left| {{a_n} - L} \right| \le \varepsilon .\) В этом случае мы записываем \[\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} = L.\] Числовая последовательность \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) имеет предел \(\infty,\) если для любого положительного числа \(M\) существует натуральное число \(N>0,\) такое, что для всех \(n \ge N\) справедливо неравенство \({a_n}>M.\) В этом случае используется обозначение \[\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} = \infty.\] Если предел \(\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} = L\) существует и \(L\) конечно, то говорят, что числовая последовательность сходится. В противном случае последовательность расходится. Теорема "о двух милиционерах": Предположим, что \(\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} = \lim\limits_{n \to \infty } {b_n} = L\) и \(\left\{ {{c_n}} \right\}\) является последовательностью, такой что \({a_n} \le {c_n} \le {b_n}\) для всех \(n>N,\) где \(N\) − натуральное число. Тогда \[\lim\limits_{n \to \infty } {c_n} = L.\] Последовательность \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) является ограниченной, если существует такое число \(M>0,\) что \(\left| {{a_n}} \right| \le M\) для любого значения \(n.\) Если числовая последовательность сходится, то она ограничена. Любая неограниченная последовательность расходится. Последовательность \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) называется монотонно возрастающей, если \({a_n} \le {a_{n + 1}}\) для всех \(n \ge 1.\) Аналогично, последовательность \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) называется монотонно убывающей, если \({a_n} \ge {a_{n + 1}}\) для всех \(n \ge 1.\) Последовательность \(\left\{ {{a_n}} \right\}\) называется монотонной, если она монотонно возрастает или монотонно убывает.

Пример 1

Записать общую формулу для \(n\)-го члена \({a_n}\) числовой последовательности и определить ее предел (если он существует). \[\frac{1}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{4}{6},\frac{5}{7}, \ldots \] В данном примере \({a_n} = \large\frac{n}{{n + 2}}\normalsize.\) Тогда предел равен \[ {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{n + 2}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 2 - 2}}{{n + 2}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left( {1 - \frac{2}{{n + 2}}} \right) } = {\lim\limits_{n \to \infty } 1 - \lim\limits_{n \to \infty } \frac{2}{{n + 2}} = 1 - 0 = 1.} \] Таким образом, последовательность сходится к \(1.\)

Пример 2

Записать формулу \(n\)-го члена \({a_n}\) числовой последовательности и определить ее предел (если он существует). \[1, - \frac{2}{2},\frac{3}{4}, - \frac{4}{8},\frac{5}{{16}}, \ldots \] Нетрудно увидеть, что \(n\)-ый член последовательности описывается формулой \({a_n} = \large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}n}}{{{2^{n - 1}}}}\normalsize.\) Поскольку \( - n \le {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}n \le n,\) то можно записать \[\frac{{ - n}}{{{2^{n - 1}}}} \le \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}n}}{{{2^{n - 1}}}} \le \frac{n}{{{2^{n - 1}}}}.\] Применяя правило Лопиталя, имеем: \[ {\lim\limits_{x \to \infty } \left( { \pm \frac{x}{{{2^{x - 1}}}}} \right) } = { \pm \lim\limits_{x \to \infty } \frac{x}{{{2^{x - 1}}}} } = { \pm \lim\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{{2^{x - 1}}\ln 2}} = 0.} \] Следовательно, по теореме "о двух милиционерах" предел исходной последовательности равен \[\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}n}}{{{2^{n - 1}}}} = 0.\]

Пример 3

Определить, сходится или расходится последовательность \(\left\{ {\large\frac{{2n + 3}}{{5n - 7}}\normalsize} \right\}?\) При вычислении предела разделим числитель и знаменатель на \(n\) в максимальной степени, равной \(1:\) \[ {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{2n + 3}}{{5n - 7}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{2n + 3}}{n}}}{{\frac{{5n - 7}}{n}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{2 + \frac{3}{n}}}{{5 - \frac{7}{n}}} = \frac{2}{5}.} \] Следовательно, последовательность сходится к \(\large\frac{2}{5}\normalsize.\)

Пример 4

Определить, сходится или расходится последовательность \(\left\{ {\large\frac{{{n^2}}}{{{2^n}}}\normalsize} \right\}?\) По правилу Лопиталя находим \[ {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2}}}{{{2^x}}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{2x}}{{{2^x}\ln 2}} } = {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{2}{{{2^x}{{\left( {\ln 2} \right)}^2}}} } = {\frac{2}{{{{\left( {\ln 2} \right)}^2}}}\lim\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{{2^x}}} = 0.} \] Поскольку предел конечен, то данная последовательность сходится.

Пример 5

Определить, является ли последовательность \(\left\{ {\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} } \right\}\) сходящейся или расходящейся? Умножим данное выражение на дробь \(\large\frac{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\normalsize = 1.\) В результате получаем \[ {\lim\limits_{n \to \infty } \left( {\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} } \right) } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left( {\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} } \right)\frac{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {\sqrt {n + 2} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {n + 1} } \right)}^2}}}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 2 - \left( {n + 1} \right)}}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} = 0.} \] Это значит, что последовательность сходится.

Пример 6

Определить, является ли последовательность \(\left\{ {\large\frac{{5n - 7}}{{3n + 4}}\normalsize} \right\}\) монотонно возрастающей, убывающей или немонотонной? \(\left( {n + 1} \right)\)-ый член последовательности выражается формулой \[{a_{n + 1}} = \frac{{5\left( {n + 1} \right) - 7}}{{3\left( {n + 1} \right) + 4}} = \frac{{5n - 2}}{{3n + 7}}.\] Проверим неравенство \({a_n} \le {a_{n + 1}}:\) \[ {\frac{{5n - 7}}{{3n + 4}} \le \frac{{5n - 2}}{{3n + 7}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{5n - 7}}{{3n + 4}} - \frac{{5n - 2}}{{3n + 7}} \le 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{\left( {5n - 7} \right)\left( {3n + 7} \right) - \left( {5n - 2} \right)\left( {3n + 4} \right)}}{{\left( {3n + 4} \right)\left( {3n + 7} \right)}} \le 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{15{n^2} - 21n + 35n - 49 - \left( {15{n^2} - 6n + 20n - 8} \right)}}{{\left( {3n + 4} \right)\left( {3n + 7} \right)}} \le 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{\color{blue}{15{n^2}} - \color{red}{21n} + \color{red}{35n} - \color{green}{49} - \color{blue}{15{n^2}} + \color{red}{6n} - \color{red}{20n} + \color{green}{8}}}{{\left( {3n + 4} \right)\left( {3n + 7} \right)}} \le 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{ - \color{green}{41}}}{{\left( {3n + 4} \right)\left( {3n + 7} \right)}} \le 0.} \] Последнее неравенство очевидно, поскольку числитель отрицателен, а \(3n + 4 \ge 0\) и \(3n + 7 \ge 0\) при \(n \ge 1.\) Поэтому, данная последовательность является монотонно возрастающей.

Пример 7

Исследовать числовую последовательность \(\left\{ {\large\frac{{{2^n} + 3}}{{{2^n} + 1}}\normalsize} \right\}\) на монотонность. Запишем первые несколько членов последовательности: \[ {\left\{ {\frac{{{2^n} + 3}}{{{2^n} + 1}}} \right\} } = {\left\{ {\frac{5}{3},\frac{7}{5},\frac{{11}}{9},\frac{{19}}{{17}},\frac{{35}}{{33}}, \ldots } \right\}.} \] Видно, что это убывающая последовательность. Чтобы подтвердить это, докажем, что справедливо неравенство \({a_n} \ge {a_{n + 1}}.\) Имеем \[{a_n} = \frac{{{2^n} + 3}}{{{2^n} + 1}},\;\;{a_{n + 1}} = \frac{{{2^{n + 1}} + 3}}{{{2^{n + 1}} + 1}}.\] Тогда условие \({a_n} \ge {a_{n + 1}}\) подразумевает \[\frac{{{2^n} + 3}}{{{2^n} + 1}} \ge \frac{{{2^{n + 1}} + 3}}{{{2^{n + 1}} + 1}}.\] Умножим обе части неравенства на \(\left( {{2^n} + 1} \right)\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right):\) \[ {\left( {{2^n} + 3} \right)\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) \ge \left( {{2^{n + 1}} + 3} \right)\left( {{2^n} + 1} \right),}\;\; {\Rightarrow {2^n}{2^{n + 1}} + 3 \cdot {2^{n + 1}} + {2^n} + 3 \ge {2^n}{2^{n + 1}} + 3 \cdot {2^n} + {2^{n + 1}} + 3,}\;\; {\Rightarrow 2 \cdot {2^{n + 1}} \ge 2 \cdot {2^n},}\;\; {\Rightarrow {2^{n + 1}} \ge {2^n},\;\;\Rightarrow 2 \ge 1.} \] Поскольку последнее неравенство верно, то последовательность монотонно убывает.